Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá 10 số nguyên $x$ thỏa mãn $(2^{x+1}-\sqrt{2})(2^x-y)<0$?

Ta có $2^{x+1}-\sqrt{2}=0\iff x=-\frac{1}{2}$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\ge 1>2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Bất phương trình tương đương: $-\frac{1}{2}<x<{\log }_{2}y$. Các số nguyên $x$ thỏa mãn là $x\in \{0;1;2;\dots \}$. Để có không quá 10 số nguyên $x$, tập nghiệm nguyên chỉ được chứa tối đa 10 phần tử $x\in \{0,1,2,\dots ,9\}$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi ${\log }_{2}y\le 10\iff y\le 2^{10}=1024$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1;2;\dots ;1024\}$. Có 1024 giá trị thỏa mãn. Chọn D.