Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, có cạnh $a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a),B^{\prime }(a;0;a),C^{\prime }(a;a;a),D^{\prime }(0;a;a)$. a) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(a;a;-a)$, tổng $=(2a;2a;0)=2\overrightarrow{AC}$ → đúng. b) $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-a)$, tích vô hướng $=-a^2$, độ dài mỗi vectơ $=a\sqrt{2}$, $\cos =-\frac{1}{2}$ → góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$ → sai. c) $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;a;a)$, $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(0;0;a)$, tích vô hướng $=a^2\ne \frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$ → sai. d) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\prime }D}=(a;a;0)+(-a;0;a)+(a;-a;0)+(-a;0;-a)=(0;0;0)=\vec{0}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã gán, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=(2a;2a;0)=2\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }B}=-a^2$, $|\overrightarrow{BD}|=|\overrightarrow{A^{\prime }B}|=a\sqrt{2}$ nên $\cos =-\frac{1}{2}$, góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(0;a;a)\cdot (0;0;a)=a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vectơ bằng $(0;0;0)=\vec{0}$.