Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó, $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}\right)$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh tứ diện đều là $a$. Chọn $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}$. Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=|AB|\cdot |AM|\cos 60^{\circ }=a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (vì $AM$ là trung tuyến tam giác đều $ABC$), và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}-\frac{a^2}{2}$. Mặt khác $|DM|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (trung tuyến tam giác đều $DBC$), $|AB|=a$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}\right)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-2}{2\sqrt{3}}=\frac{3-2\sqrt{3}}{6}\approx -0,0773\approx -0,08$.