Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $2a$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $2a$.

a) $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông $ABCD$) và $AC\perp B{B}^{\prime }$ ($B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$), nên $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$. Vì $AC\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$: Đúng.

b) Trong hình lập phương, cạnh bên $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$: Đúng.

c) Góc nhị diện $[A,BC,D^{\prime }]$: $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $BC\perp BA$ và $BC\perp B{D}^{\prime }$. Tọa độ $A(0,0,0)$, $B(2a,0,0)$, $C(2a,2a,0)$, $D^{\prime }(0,2a,2a)$: $(ABC)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$, $(BC{D}^{\prime })$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1,0,1)$, $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }$: Đúng.

d) $A^{\prime }C$ là đường chéo hình lập phương: $A^{\prime }C=\sqrt{(2a{)}^2+(2a{)}^2+(2a{)}^2}=2a\sqrt{3}\ne a\sqrt{3}$: Sai.

Khớp bảng đáp án mã đề 101: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ BB' nên AC ⊥ (BDD'B'); vì AC ⊂ (ACC'A') nên (ACC'A') ⊥ (BDD'B').
b) (AI giải đề cho tôi)
AA' là cạnh bên của hình lập phương nên vuông góc với mặt đáy (ABCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ BA và BC ⊥ BD'; với tọa độ A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,2a,0), D'(0,2a,2a), cos góc giữa hai mặt = 1/√2, góc = 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
A'C = 2a√3, không phải a√3.