Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên trung tuyến $AM\perp BC$. Lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $AM\perp (BC{C}^{\prime })$ (vì $AM\perp BC$, $AM\perp C{C}^{\prime }$) $\Rightarrow (AM{C}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime })$: C đúng. Ta có $AB\perp AC$ và $AB\perp A{A}^{\prime }$ nên $AB\perp (AC{C}^{\prime })$ $\Rightarrow (AB{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime })$: A đúng. Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ với $A{A}^{\prime }\subset (AB{A}^{\prime })$ $\Rightarrow (ABC)\perp (AB{A}^{\prime })$: D đúng. Xét B: mặt phẳng $(A{C}^{\prime }M)$ không chứa đường vuông góc với $(ABC)$: nó không chứa $A{A}^{\prime }$ (chỉ chứa $A$, $C^{\prime }$, $M$) và không chứa $C{C}^{\prime }$; đường $AM$ nằm trong $(ABC)$. Vậy khẳng định B sai.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 0119 (trang 5), Phần II, Câu 1: DSDS, tức a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Nguồn không cung cấp lời giải chi tiết.

(AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo $AC\perp BD$ tại $O$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Do đó $AC\perp BD$ và $AC\perp SB$ với $BD$, $SB$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Mặt phẳng $(SAC)$ chứa $AC$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1702, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình thoi nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc tại $O$, tức $AC\perp BD$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Từ đó $AC\perp BD$ và $AC\perp SB$ với $BD$, $SB$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Mặt phẳng $(SAC)$ chứa $AC$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1701: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ cân tại $B$ và $I$ là trung điểm $AC$ nên $BI\perp AC$. Mặt khác $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BI$. Từ đó $BI\perp (SAC)$, suy ra $BI\perp SC$. Lại có $IH\perp SC$ (H là hình chiếu của I lên SC), hai đường thẳng $BI$ và $IH$ cắt nhau tại $I$ và cùng nằm trong $(BIH)$, nên $SC\perp (BIH)$. Vì $SC$ nằm trong $(SBC)$ nên $(BIH)\perp (SBC)$. Vậy khẳng định A đúng. Các phương án khác: B sai vì không có $AC\perp AB$; C sai vì giao tuyến $BC$ không vuông góc với $SA$ hay đường nào chứng minh được; D sai vì $(SAC)$ chứa $SC$ nên không thể vuông góc $(SBC)$.

Khẳng định sai: $(SBC)\perp (SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $(SAC)\perp (ABC)$: khẳng định A đúng. Tam giác $ABC$ cân tại $B$ với $I$ là trung điểm $AC$ nên $BI\perp AC$; kết hợp $BI\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) suy ra $BI\perp (SAC)$, do đó $BI\perp SC$ và $BI\perp IH$. Mặt khác $IH\perp SC$ nên $SC\perp (BIH)$, suy ra $(SBC)\perp (BIH)$ (B đúng) và $(SAC)\perp (BIH)$ (D đúng, vì $BI\subset (BIH)$ và $BI\perp (SAC)$). Với C: để $(SBC)\perp (SAC)$ cần một đường thẳng trong $(SBC)$ vuông góc với $(SAC)$; $BI\perp (SAC)$ nhưng $BI$ không nằm trong $(SBC)$, còn $SC$ không vuông góc với $(SAC)$. Vậy khẳng định C sai.

a) Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Tính được $SI=2\sqrt{3}$, $SJ=2$, $IJ=4$. (0,25 điểm)

Do $S{I}^2+S{J}^2=I{J}^2$ suy ra $SI\perp SJ$ (1) (0,25 điểm)

Mặt khác: $\{\begin{array}{l}AB\perp SI\\ AB\perp IJ\end{array}\Rightarrow AB\perp (SIJ)\Rightarrow AB\perp SJ$ (2) [Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] (0,25 điểm)

Từ (1) và (2) suy ra $SJ\perp (SAB)\Rightarrow (SCD)\perp (SAB)$. (0,25 điểm)

b) $AB\perp (SIJ)\Rightarrow (SIJ)\perp (ABCD)$ theo giao tuyến $IJ$.

Kẻ $SH\perp IJ$ tại $H$ suy ra $SH\perp (ABCD)$.

Gọi $E=AH\cap BN$. Ta có $\{\begin{array}{l}BN\perp SA\\ BN\perp SH\end{array}\Rightarrow BN\perp AH$. [Hình cần kiểm tra lại: p9_f2] (0,25 điểm)

Tính được $SH=\sqrt{3}$; $HI=3$ và $AH=\sqrt{13}$.

Có $△ABE$ đồng dạng với $△AHI$ nên:
$$\frac{AE}{AI}=\frac{AB}{AH}\Rightarrow AE=\frac{AB.AI}{AH}=\frac{8}{\sqrt{13}}.$$ (0,25 điểm)

Có $△ABE$ đồng dạng với $△BNC$ nên:
$$\frac{AB}{BN}=\frac{AE}{BC}\Rightarrow BN=\frac{AB.BC}{AE}=2\sqrt{13}.$$ (0,25 điểm)

Lại có: $S_{△BND}=S_{△BNC}-S_{△BDC}=\frac{1}{2}.4.6-\frac{1}{2}.4.4=4$.

Thể tích $V$ của khối chóp $S.BDN$ là $V=\frac{1}{3}.SH.S_{△BND}=\frac{1}{3}.\sqrt{3}.4=\frac{4}{3}\sqrt{3}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $(ABC)\perp (AB{A}^{\prime })$ (D đúng). Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AM$ cũng là đường cao: $AM\perp BC$. Lại có $AM\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$), nên $AM\perp (BC{C}^{\prime })$. Mặt phẳng $(AM{C}^{\prime })$ chứa $AM$ nên $(AM{C}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime })$ (C đúng). Với A: $AB\perp AC$ và $AB\perp A{A}^{\prime }$ nên $AB\perp (AC{C}^{\prime })$, mặt $(AB{B}^{\prime })$ chứa $AB$ nên $(AB{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime })$ (A đúng). Với B: nếu $(A{C}^{\prime }M)\perp (ABC)$ thì vì giao tuyến của hai mặt là $AM$, đường thẳng $A{C}^{\prime }$ nằm trong $(A{C}^{\prime }M)$ phải vuông góc với $(ABC)$, tức $A{C}^{\prime }\perp AM$; nhưng tam giác $AM{C}^{\prime }$ có $AM\perp$ mặt $(BC{C}^{\prime })$ nên $AM\perp M{C}^{\prime }$, tức tam giác $AM{C}^{\prime }$ vuông tại $M$, không thể vuông tại $A$ (với $A{C}^{\prime }>AM$). Vậy mệnh đề B sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15: Cho hình chóp $S.ABC$, đáy $ABC$ vuông tại $C$, $SAC$ đều và $(SAC)\perp (ABC)$, $I$ trung điểm $SC$.

a) Ta có: $ABC$ vuông tại $C$ nên $BC\perp AC$. Mặt khác $(SAC)\perp (ABC)$, giao tuyến của hai mặt phẳng này là $AC$, mà $BC\subset (ABC)$ nên $BC\perp (SAC)$. Vì $BC\subset (SBC)$ nên theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, suy ra $(SBC)\perp (SAC)$. Đpcm.

b) Tam giác $SAC$ đều nên đường trung bình $AI$ đồng thời là đường cao, do đó $AI\perp SC$. Theo câu a) ta có $BC\perp (SAC)$, mà $AI\subset (SAC)$ nên $BC\perp AI$. Vậy $AI\perp SC$ và $AI\perp BC$, với $SC$, $BC$ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(SBC)$, suy ra $AI\perp (SBC)$. Vì $AI\subset (ABI)$ nên theo định lý, $(ABI)\perp (SBC)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ trong mặt đáy: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$. Vì $MB=\frac{a}{2}$ nên $M\left(a;\frac{a}{2}\right)$; vì $DN=\frac{3a}{4}$ nên $N\left(\frac{3a}{4};a\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(a;\frac{a}{2}\right)$ và $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{a}{4};\frac{a}{2}\right)$, nên:
$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{MN}=a\cdot \left(-\frac{a}{4}\right)+\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=0\Rightarrow AM\perp MN.$$

Mặt khác, $SA\perp (ABC)$ mà $MN\subset (ABC)$ nên $SA\perp MN$.

Vì $MN$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AM$ và $SA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAM)$, suy ra $MN\perp (SAM)$.

Lại có $MN\subset (SMN)$, nên theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, ta được $(SAM)\perp (SMN)$. $■$

(AI giải đề cho tôi)

a) Vì $(SAB)\cap (SAD)=SA$ và cả hai mặt phẳng này cùng vuông góc với $(ABCD)$ nên theo tính chất ba mặt phẳng vuông góc, giao tuyến $SA\perp (ABCD)$. Suy ra $SA\perp BD$ (vì $BD\subset (ABCD)$).

b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$. Xét hai tam giác vuông $SAB$ và $SAD$ vuông tại $A$ chung cạnh $SA$, có $AB=AD$ (đáy là hình vuông) nên $△SAB=△SAD$; suy ra $SB=SD$ và $△ASB=△ASD$.

Trong tam giác vuông $SAB$, $AH\perp SB$ nên $SH=SA\cos △ASB=SA\cos △ASD=SK$ và $AH=SA\sin △ASB=AK$. Vì $AB=AD$, $SB=SD$, $SA$ chung nên $B$ và $D$ đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$ (mặt phẳng đi qua $SA$ và đường chéo $AC$ của hình vuông). Do $SH=SK$ với $H\in SB$, $K\in SD$, ta có $H$ và $K$ đối xứng qua $(SAC)$, suy ra $HK\perp (SAC)$.

Mà $HK\subset (AHK)$ nên theo định lý về mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng khác, $(SAC)\perp (AHK)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A) Nếu $a\perp (\alpha )$ và $a\subset (\beta )$ thì theo định lý: mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc, suy ra $(\alpha )\perp (\beta )$. Mệnh đề đúng.
- B) Sai vì $b$ có thể nằm trong $(\alpha )$ (khi đó $b\perp a$ nhưng $b$ không song song với $(\alpha )$).
- C) Sai vì hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng vuông góc với nhau chưa chắc vuông góc với nhau (ví dụ trong hình hộp chữ nhật, lấy $a$ là cạnh và $b$ là cạnh chéo của mặt bên).
- D) Sai vì hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc chưa chắc vuông góc với nhau.
Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
(A) Đây là định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(\alpha )\perp (\beta )$, $a\subset (\alpha )$ và $a$ vuông góc với giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ thì $a\perp (\beta )$. Mệnh đề đúng.
(B) Sai: qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước (chỉ duy nhất khi điểm nằm trên mặt phẳng và xét đường thẳng vuông góc, không phải mặt phẳng).
(C) Sai: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau, chéo nhau hoặc song song.
(D) Sai: đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau phải cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với cả hai; chỉ vuông góc với cả $a$ và $b$ là chưa đủ (thiếu điều kiện cắt cả hai đường).
Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $a$ không vuông góc với $(\alpha )$. Nếu $a$ cắt $(\alpha )$ tại điểm $A$ (không vuông góc) hoặc $a$ song song với $(\alpha )$, ta lấy đường thẳng $d$ đi qua một điểm thuộc $a$ (hoặc giao điểm) và vuông góc với $(\alpha )$. Mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $(\alpha )$ phải chứa $d$ (theo định lí: nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc). Hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $d$ (hoặc $a$ song song với $(\alpha )$: lấy $d$ qua điểm bất kỳ trên $a$, khi đó $a$ và $d$ cắt nhau hoặc song song nhưng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất) xác định duy nhất một mặt phẳng, và mặt phẳng đó vuông góc với $(\alpha )$. Vậy có đúng 1 mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $(\alpha )$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau → A đúng. B sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn nhà nhưng chúng vuông góc với nhau). C sai vì chỉ những đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến mới vuông góc với mặt phẳng kia. D sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể song song hoặc cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: Nếu đường thẳng $a\perp (\alpha )$ và đường thẳng $d\perp a$ với $d\not\subset (\alpha )$ thì $d\parallel (\alpha )$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng).
- B đúng: Đây là định lý: nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.
- C đúng: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó, nên chúng song song với nhau.
- D sai: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba có thể cắt nhau. Ví dụ: hai mặt tường của một căn phòng cùng vuông góc với mặt sàn nhưng chúng cắt nhau dọc theo đường giao tuyến. Do đó khẳng định D không phải luôn đúng.
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P)\parallel (Q)$ nên mọi mặt phẳng vuông góc với $(P)$ cũng vuông góc với $(Q)$. Qua điểm $M$ có vô số đường thẳng vuông góc với $(P)$ (chúng cùng song song với pháp tuyến $n$ của $(P)$). Mỗi mặt phẳng qua $M$ chứa một đường thẳng như vậy đều vuông góc với $(P)$, do đó cũng vuông góc với $(Q)$. Vì có vô số đường thẳng như thế nên có vô số mặt phẳng thỏa mãn. Vậy đáp án là B. Vô số, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc nhau: $AC\perp BD$ (tại giao điểm $O$). Vì $SB\perp (ABCD)$ và $AC\subset (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Khi đó $AC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $SB$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Mà $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB\perp BC$ và trung tuyến $BM\perp AC$ (B đúng). Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BM$; kết hợp $BM\perp AC$ suy ra $BM\perp (SAC)$, mà $BM\subset (SBM)$ nên $(SBM)\perp (SAC)$ (C đúng). Ta có $AB\perp SA$ và $AB\perp BC$ nên $AB\perp (SBC)$, do đó $(SAB)\perp (SBC)$ (D đúng). Xét A: giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAC)$ là $SA$; để $(SAB)\perp (SAC)$ cần một đường thẳng trong $(SAC)$ vuông góc với $(SAB)$, tức vuông góc với cả $SA$ và $AB$. Đường thẳng trong $(SAC)$ vuông góc với $SA$ phải song song với $AC$, mà $AC$ không vuông góc với $AB$ (góc $BAC=45^{\circ }$). Vậy mệnh đề A sai.