Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ đồng thời hai vectơ $\vec{u}=\frac{5}{2}\vec{a}-2\vec{b}$ và $\vec{v}=\vec{a}+2\vec{b}$ vuông góc với nhau. Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{4{\pi }^2-x^2}\cdot \sin 2x=0$ là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3,AD=4,A{A}^{\prime }=5$. Số đo góc nhị diện $[A,B^{\prime }{D}^{\prime },A^{\prime }]$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) bằng

Cho đa giác đều có 30 đỉnh. Số hình chữ nhật có 4 đỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác đã cho là

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Cósin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng

Anh Hà đang ở địa điểm $A$ và cần chuyển hàng hóa gặp tới bốn địa điểm $B,C,D,E$. Anh Hà xuất phát từ $A$ và lần lượt đi qua các địa điểm còn lại (mỗi địa điểm đi qua một lần duy nhất) rồi quay về A. Biết thời gian (đơn vị: phút) di chuyển giữa các điểm được mô tả bởi sơ đồ như hình bên dưới và thời gian giao hàng tại mỗi nơi đều là 5 phút. Thời gian ít nhất để anh Hà hoàn thành công việc là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-4}=1$. Giá trị $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x^2+3)+x^2-2}{x-1}$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[(a^2-4)x^3-2x^2+2025x+2026\right]=-\infty$?

Trong mặt phẳng $Oxy$, gọi $P$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x;y)$ thỏa mãn $0\le x\le 10$; $0\le y\le 10$ và $x,y\in \mathbb{N}$. Số đoạn thẳng có độ dài bằng 5 và có hai đầu mút thuộc $P$ là

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$) có $f(0)=1$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Biết $\underset{[-4;-3]}{\max }f(x)=\frac{m}{n}$ (với $m,n\in \mathbb{Z};n>0$; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của $m+2n$ bằng

Một lớp học có 45\% học sinh là nam. Số học sinh nữ bị cận thị chiếm 25\% số học sinh của lớp. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Biết rằng học sinh được chọn là nữ, xác suất để học sinh đó bị cận thị bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 2. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{B}^{\prime }$ và $AD$. Giá trị của $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ bằng

Một nhà kho có dạng hình lăng trụ ngũ giác đứng với các kích thước bên trong như hình vẽ. Thể tích phần không gian bên trong nhà kho bằng

Người ta theo dõi tuổi thọ của 100 con ong, kết quả được thống kê trong bảng sau:



Tuổi thọ trung bình của 100 con ong trên là

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R},a\ne 0$). Các hàm số $g(x)=f(x)-\frac{8}{3}x+8$ và $h(x)=f(x)-4x+12$ có đồ thị là hai đường cong như hình vẽ, trong đó đồ thị của một hàm số đi qua một điểm cực trị của đồ thị hàm số còn lại. Giá trị của $g^{\prime }(3)$ bằng

Một hạt chuyển động thẳng trên trục $Ox$ và xuất phát tại $O$. Phương trình chuyển động của hạt là $x(t)=t-2\ln (t+1)$ (đơn vị: mét), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Hàm số $v(t)=x^{\prime }(t)$ (đơn vị: mét/giây) biểu thị vận tốc chuyển động của hạt.

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=2$, $AD=4$, số đo góc nhị diện $[D^{\prime },AB,D]$ bằng $45^{\circ }$.

Hàm số $y=f(x)=x+{\log }_2\frac{x+22}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(3;-1;4)$, $B(-2;3;3)$. Các điểm $M$, $N$ thay đổi sao cho $M$ luôn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và $\overrightarrow{MN}=(-2;-2;1)$.

Một loại linh kiện do hai nhà máy I, II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là $3\%$ và $2\%$. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 110 sản phẩm của nhà máy I và 90 sản phẩm của nhà máy II. Lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R};a\ne 0$) có bảng biến thiên:

Một khối gỗ hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=30$ cm, $AD=20$ cm, cạnh bên $SA=40$ cm và vuông góc với mặt đáy. Từ khối gỗ người ta cắt gọt để được một khối lập phương có ba mặt nằm trong ba mặt của hình chóp (tham khảo hình vẽ). Trong trường hợp khối lập phương thu được có thể tích lớn nhất thì cạnh của nó bằng bao nhiêu cm? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong không gian $Oxyz$, một vật được treo bằng ba sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A(-2;-1;0)$, $B(2;-1;0)$, $C(0;4;0)$, còn đầu kia được gắn với vật tại điểm $D(0;0;-4)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $(Oxy)$ song song với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 15 N. Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật bằng bao nhiêu Niu-tơn? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho hai chuồng thỏ, chuồng thứ nhất có 7 con thỏ trắng và 5 con thỏ nâu, chuồng thứ hai có 5 con thỏ trắng và 3 con thỏ nâu. Tất cả các con thỏ có cùng khối lượng. Bắt ngẫu nhiên hai con thỏ từ chuồng thứ nhất bỏ vào chuồng thứ hai. Sau đó, bắt ngẫu nhiên một con thỏ từ chuồng thứ hai. Biết rằng con thỏ bắt ra từ chuồng thứ hai màu trắng, tính xác suất để con thỏ bắt được là con thỏ chuyển từ chuồng thứ nhất sang chuồng thứ hai (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ vị trí $A$ trên bờ biển đến vị trí $B$ trên hòn đảo. Biết rằng khoảng cách từ điểm $B$ đến bờ biển là $BH=8$ km, $AH=12$ km (tham khảo hình vẽ). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 6 tỷ đồng mỗi ki-lô-mét và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 15 tỷ đồng mỗi ki-lô-mét. Qua tính toán, công ty đã xác định được vị trí điểm $C$ trên đoạn thẳng $AH$ để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ACB$ có chi phí bỏ ra thấp nhất là $a$ tỷ đồng. Hỏi giá trị của $a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong một cuộc thi làm bánh, mỗi đội chỉ được sử dụng tối đa 6 kg bột mì và 4 kg đậu để làm ra bánh loại I và bánh loại II. Với mỗi chiếc bánh loại I cần 0,06 kg bột mì và 0,08 kg đậu, với mỗi chiếc bánh loại II cần 0,08 kg bột mì và 0,04 kg đậu. Mỗi chiếc bánh loại I được 8 điểm, mỗi chiếc bánh loại II được 10 điểm. Số điểm tối đa có thể đạt được của mỗi đội bằng bao nhiêu?

Chọn ngẫu nhiên 5 số phân biệt từ tập hợp $X=\{2;4;6;8;10;12;13;14;16;18;20\}$ để xếp vào 5 ô $A,B,C,D,O$ như hình vẽ (mỗi ô xếp một số). Gọi $Y$ là biến cố: "Số 13 xếp ở ô $O$ và tổng các số xếp ở các ô $A,O,C$ bằng tổng các số xếp ở các ô $B,O,D$". Biết $P(Y)=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$; $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?