Chọn ngẫu nhiên 5 số phân biệt từ tập hợp $X=\{2;4;6;8;10;12;13;14;16;18;20\}$ để xếp vào 5 ô $A,B,C,D,O$ như hình vẽ (mỗi ô xếp một số). Gọi $Y$ là biến cố: "Số 13 xếp ở ô $O$ và tổng các số xếp ở các ô $A,O,C$ bằng tổng các số xếp ở các ô $B,O,D$". Biết $P(Y)=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$; $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

(Đáp án chính thức - Mã đề 522, Trang 9/9)
$|\Omega |=A_{11}^5=55440$.

Biến cố $Y$: "$O=13$ và $A+O+C=B+O+D$" $\iff O=13$ và $A+C=B+D$.

Cố định $O=13$. Khi đó $A,B,C,D$ là 4 số phân biệt lấy từ $S=X\setminus \{13\}=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}$. Chia cả 4 số cho 2, đặt $T=\{1,2,\dots ,10\}$.

Ta có $x+z=y+w$ với $x,y,z,w$ là 4 số phân biệt trong $T$ (ứng với $A,B,C,D$).

Gọi $k_s$ là số cặp không thứ tự $\{i;j\}\subset T$ sao cho $i+j=s$.

Với $T=\{1,2,\dots ,10\}$, ta có các $k_s$ ($s=\overline{3;19}$): $1,1,2,2,3,3,4,4,5,4,4,3,3,2,2,1,1$.

Với mỗi tổng $s$, số cách chọn có thứ tự hai cặp khác nhau cùng tổng $s$ là $k_s(k_s-1)$.

Mỗi cách như vậy gán vào $(A,C)$ và $(B,D)$, đồng thời đổi chỗ trong từng cặp có $2\cdot 2=4$ cách.

$$n(Y)=4\sum _s{k}_s(k_s-1)=400\Rightarrow P(Y)=\frac{400}{55440}=\frac{5}{693}$$

Vậy $a+b=5+693=698$.