Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-4}=1$. Giá trị $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x^2+3)+x^2-2}{x-1}$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-4}=1$ và $f$ liên tục, mẫu số tiến về 0 nên tử số cũng phải tiến về 0, suy ra $f(4)=1$, và giới hạn chính là $f^{\prime }(4)=1$.

Xét $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x^2+3)+x^2-2}{x-1}$. Tại $x=1$: $f(4)+1-2=1+1-2=0$, nên đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Đặt $g(x)=f(x^2+3)+x^2-2$, khi đó giới hạn cần tính là $g^{\prime }(1)$ với
$$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^2+3)\cdot 2x+2x.$$
Vậy $g^{\prime }(1)=f^{\prime }(4)\cdot 2+2=1\cdot 2+2=4$.

Đáp án: 4.