Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(3;-1;4)$, $B(-2;3;3)$. Các điểm $M$, $N$ thay đổi sao cho $M$ luôn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và $\overrightarrow{MN}=(-2;-2;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) Đối xứng của A(3;-1;4) qua (Oxy) là (3;-1;-4), không phải (-3;1;4) → sai. b) Từ CA + kCB = 0 suy ra C = (A + kB)/(1+k), z_C = (4+3k)/(1+k) = 0 (vì C thuộc (Oxy)) → k = -4/3 → đúng. c) NM = (2;2;-1), BD = (a+2; b-3; c-3) = (2;2;-1) → a=0, b=5, c=2, a+b+c = 7 ≠ 1 → sai. d) MN = 3. Đặt v = MN = (-2;-2;1), N = M + v nên NB = |M - (B - v)| = MB' với B' = B - v = (0;5;2). Cần min AM + MB' với M thuộc (Oxy). Lấy A' đối xứng A qua (Oxy): A'(3;-1;-4), min = A'B' = √(9+36+36) = 9. Vậy min tổng = 9 + 3 = 12 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng với A(3;-1;4) qua mặt phẳng (Oxy) là (3;-1;-4) (chỉ đổi dấu tung độ z), không phải (-3;1;4).
b) (AI giải đề cho tôi)
CA + kCB = 0 suy ra C = (A + kB)/(1+k). Vì C thuộc (Oxy) nên z_C = (4 + 3k)/(1+k) = 0 → k = -4/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
NM = (2;2;-1). BD = (a+2; b-3; c-3) = (2;2;-1) → a = 0, b = 5, c = 2, nên a+b+c = 7 ≠ 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN = 3. Với v = MN = (-2;-2;1), N = M + v nên NB = MB' với B' = B - v = (0;5;2). Min của AM + MB' khi M thuộc (Oxy) bằng khoảng cách từ A'(3;-1;-4) (đối xứng A qua (Oxy)) đến B': √(9+36+36) = 9. Vậy min AM + MN + NB = 9 + 3 = 12.