Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$ và $SD$. Chứng minh rằng:

a) $SA\perp BD$;

b) $(SAC)\perp (AHK)$.

(AI giải đề cho tôi)

a) Vì $(SAB)\cap (SAD)=SA$ và cả hai mặt phẳng này cùng vuông góc với $(ABCD)$ nên theo tính chất ba mặt phẳng vuông góc, giao tuyến $SA\perp (ABCD)$. Suy ra $SA\perp BD$ (vì $BD\subset (ABCD)$).

b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$. Xét hai tam giác vuông $SAB$ và $SAD$ vuông tại $A$ chung cạnh $SA$, có $AB=AD$ (đáy là hình vuông) nên $riangleSAB=riangleSAD$; suy ra $SB=SD$ và $riangleASB=riangleASD$.

Trong tam giác vuông $SAB$, $AH\perp SB$ nên $SH=SA\cos △ASB=SA\cos △ASD=SK$ và $AH=SA\sin △ASB=AK$. Vì $AB=AD$, $SB=SD$, $SA$ chung nên $B$ và $D$ đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$ (mặt phẳng đi qua $SA$ và đường chéo $AC$ của hình vuông). Do $SH=SK$ với $H\in SB$, $K\in SD$, ta có $H$ và $K$ đối xứng qua $(SAC)$, suy ra $HK\perp (SAC)$.

Mà $HK\subset (AHK)$ nên theo định lý về mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng khác, $(SAC)\perp (AHK)$. Đpcm.