Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và các cạnh đều bằng $a$.

a) Chứng minh rằng $SO\perp BC$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$ và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $OM$ và mặt phẳng $(SBC)$. Tính $\sin \alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14 (Phần IV): Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a (chóp đều), đáy ABCD là hình vuông tâm O.

a) Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S, mà O là trung điểm AC (tâm hình vuông) nên SO ⊥ AC. Tương tự SB = SD nên SO ⊥ BD. SO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC, BD trong mặt phẳng (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD). Suy ra SO ⊥ BC (vì BC ⊂ (ABCD)).

b) Tam giác SAC vuông cân tại S (SA = SC = a, AC = a√2) nên SO = √(a² − a²/2) = a/√2. Tam giác SOC vuông tại O với SO = OC = a/√2, M trung điểm SC nên OM = SC/2 = a/2 (tính chất đường trung tuyến).

Góc α giữa OM và (SBC): sin α = d(O,(SBC))/OM.
Tam giác SBC đều cạnh a nên S_{SBC} = a²√3/4. Tam giác OBC vuông cân tại O với OB = OC = a/√2 nên S_{OBC} = a²/4.
V_{O.SBC} = (1/3)·(a²/4)·(a/√2) = a³/(12√2).
d(O,(SBC)) = 3V/S_{SBC} = (a³/(4√2))·(4/(a²√3)) = a/√6.
Vậy sin α = (a/√6)/(a/2) = 2/√6 = √6/3.

Kiểm tra lại bằng tọa độ: đặt O(0,0,0), A(a/√2,0,0), C(−a/√2,0,0), B(0,a/√2,0), D(0,−a/√2,0), S(0,0,a/√2), M(−a/(2√2),0,a/(2√2)). Mặt phẳng (SBC): phương trình x/... kiểm tra qua tích có hướng SB×SC = (a²/2, a²/2, a²/2) ∝ (1,1,1), phương trình x + y + z = a/√2. Khoảng cách từ O: (a/√2)/√3 = a/√6 ✓. |OM| = √(a²/8 + a²/8) = a/2 ✓. sin α = (a/√6)/(a/2) = √6/3 ✓. Kết quả khớp với lời giải đã cho.