Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt{a^3}$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt{a^5}$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{a^3}$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt[4]{a^3}$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{a^2}$ bằng

Cho $a$ là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương $x$, $y$?

Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b\ne 1$, mệnh đề nào sau đây sai?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Với các số thực dương $a$, $b$ bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý và $b\ne 1$. Tìm kết luận đúng.

Cho hai số dương $a$, $b$ $(a\ne 1)$. Mệnh đề nào dưới đây SAI?

Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho $a,b,c>0$, $a\ne 1$ và số $\alpha \in \mathbb{R}$, mệnh đề nào dưới đây sai?

Cho $a,b,c$ là các số dương $(a,b\ne 1)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_7(7a)$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_3(3a)$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_5(5a)$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_4(4a)$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_6(6a)$ bằng

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(2x-1)=2$ là:

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(x-1)=2$ là

Nghiệm của phương trình ${\log }_2(x-1)=3$ là

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2(x-2)>3$ là

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2(x-2)<3$ là

Trong không gian, cho đường thẳng $d$ và điểm $O$. Qua $O$ có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng $d$?

Trong không gian cho trước điểm $M$ và đường thẳng $\Delta$. Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ thì

Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $AB$?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $D^{\prime }{C}^{\prime }$?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $BC$?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $C{C}^{\prime }$?

Cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và mặt phẳng $(P)$, trong đó $a\perp (P)$. Chọn mệnh đề sai.

Qua điểm $O$ cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta$ cho trước?

Khẳng định nào sau đây sai?

Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai?

Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $(P)$. Chọn khẳng định đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$; tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=a$. Tìm góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$; tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=a$. Tìm góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a,SA\perp (ABCD),SA=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. $SA=\sqrt{2}a$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AB=a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=2a$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AB=a\sqrt{2}$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Cho các đường thẳng $a,b$ và các mặt phẳng $(\alpha ),(\beta )$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

Cho đường thẳng $a$ không vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$. có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $(\alpha )$.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?

Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau và một điểm $M$ không thuộc $(P)$ và $(Q)$. Qua $M$ có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với $(P)$ và $(Q)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi và $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA\perp (ABC)$, gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Mệnh đề nào sai?

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, mệnh đề nào sau đây sai?

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $I$ là trung điểm $AC$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên $SC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{6}$ (như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây là đúng?.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Cho các biểu thức sau: $P={\log }_{2}8+{\log }_{3}27-{\log }_5{5}^3$; $Q=\ln (2e)-\log 100$. Khi đó

Cho biểu thức $Q=2^{{\log }_{16}{x}^4+{\log }_2{x}^2}$ với $x$ là số thực khác 0. Vậy

Tính được giá trị của các biểu thức sau (biết $a>0,a\ne 1$). Vậy:

Tìm được tập xác định các hàm số sau. Vậy

Cho hàm số $y={\log }_{4}x$

Cho hàm số $y={\log }_{0,5}x$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H,K$ theo thứ tự là hình chiếu của $A$ trên các cạnh $SB,SD$. Khi đó

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $OK$ là đường cao của tam giác $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác $OAK$. Khi đó

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình thoi tâm $O$ và $SA=SC,SB=SD$. Khi đó

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Gọi $H$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các cạnh $SB,SC$. Khi đó

Tìm nghiệm phương trình $2^{2x}=8$.

Tìm nghiệm phương trình $3^{2x-2}=27$.

Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_3(3x-5)=2$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_2(3x+9)=5$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tìm nghiệm phương trình ${\log }_{\frac{1}{4}}(-x+2)=-2$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a\sqrt{6}$. Tính góc giữa $A^{\prime }C$ với mặt phẳng $(ABCD)$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Tính góc giữa $A^{\prime }D$ với mặt phẳng $(ABCD)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$; tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=a$. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. $SA=\sqrt{2}a$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AB=\sqrt{3}a$. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB=2a$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy.

Một vi khuẩn có khối lượng khoảng $5.10^{-3}$ gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần. Giả sử được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất là $6.10^{27}$ gam (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Ông An gửi 500 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép trong một thời gian khá lâu với lãi suất ổn định trong suốt thời gian tiết kiệm là 10\% /năm. Tết năm nay do dịch bệnh nên ông rút hết tiền trong ngân hàng ra để gia đình chi tiêu. Sau khi rút cả vốn lẫn lãi, ông trích ra 20 triệu để sắm sửa đồ Tết thì ông còn 860 triệu. Hỏi ông đã gửi tiết kiệm trong bao nhiêu năm.

Trong cây cối có chất phóng xạ ${}_6^{14}C$. Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được phóng xạ của nó bằng 86\% độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó. Biết chu kì bán rã của ${}_6^{14}C$ là $T=5730$ năm, độ phóng xạ của chất phóng xạ tại thời điểm $t$ được cho bởi công thức $H=H_0{e}^{-\lambda t}$ với $H_0$ là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm $t=0$); $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ (Nguồn: Vật lí 12, NXBGD Việt Nam, 2021).

Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây, các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4\% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và giả sử tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ.

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức $S=A{e}^{rt}$, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng t giờ là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Với $a,b$ là các số thực dương và thoả mãn $ab\ne 1$. Ta rút gọn biểu thức $P=\left({\log }_{a}b+{\log }_{b}a+2\right)\left({\log }_{a}b-{\log }_{ab}b\right){\log }_{b}a-1$ thu được kết quả $(2m-1){\log }_a{b}^n$ với $m;n$ là các số tự nhiên. Tính giá trị $S=m-n$.

Rút gọn biểu thức: $A=({\log }_b^{3}a+2{\log }_b^{2}a+{\log }_{b}a)\cdot ({\log }_{a}b-{\log }_{ab}b)-{\log }_{b}a=m$. Tính $m$.

Cho $x$ và $y$ là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn $x^2+9y^2=6xy$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1+{\log }_{12}x+{\log }_{12}y}{2{\log }_{12}(x+3y)}$.

Biết ${\log }_{3}5=a;{\log }_{5}7=b$. Khi đó ${\log }_{45}175=\frac{na+kab}{m+a}$ (với $n,k,m$ là các số nguyên). Tính $S=m+n+k$.

Biết ${\log }_{3}4=a;{\log }_{5}4=b$. Khi đó ${\log }_{12}80=\frac{mab+a}{nab+kb}$. Tính $S=m+n-k$.

Rút gọn biểu thức $P=\frac{a^{\sqrt{3}+1}\cdot a^{2-\sqrt{3}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$ với $a>0$.

Rút gọn biểu thức $P=\frac{a^{\sqrt{5}+1}\cdot a^{2-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$ với $a>0$.

Rút gọn biểu thức $P=\frac{a^{\sqrt{7}+1}\cdot a^{2-\sqrt{7}}}{{\left(a^{2-\sqrt{3}}\right)}^{2+\sqrt{3}}}$ với $a>0$.

Rút gọn biểu thức $P=\frac{a^{\sqrt{6}-1}\cdot a^{5-\sqrt{6}}}{{\left(a^{2-\sqrt{6}}\right)}^{3+\sqrt{6}}}$ với $a>0$.

Rút gọn biểu thức $P=\frac{a^{\sqrt{7}+3}.a^{4-\sqrt{7}}}{{\left(a^{3+\sqrt{4}}\right)}^{3-\sqrt{4}}}$ với $a>0$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA\perp (ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $60^{\circ }$. Tính góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$?