Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,SA\perp (ABC)$ và $SA=2a$. Tính góc phẳng nhị diện $[A,SC,B]$?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AC$. Vì $△ABC$ đều cạnh $a$ nên $BH\perp AC$; mà $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BH$. Do đó $BH\perp (SAC)$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $SA=2a$, $AC=a$, $SC=a\sqrt{5}$), gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $SC$, tức $HK\perp SC$.

Vì $BH\perp (SAC)$ nên $BH\perp SC$; kết hợp $HK\perp SC$ suy ra $SC\perp (BKH)$, do đó $BK\perp SC$. Mà $H$ và $A$ nằm cùng phía của đường thẳng $SC$ trong mặt phẳng $(SAC)$, nên góc phẳng nhị diện $[A,SC,B]$ là $\widehat{BKH}$.

Tính các độ dài:
- $BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao tam giác đều).
- Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$, đường cao $HK$ hạ từ $H$... tính trực tiếp bằng tọa độ: đặt $A(0,0,0)$, $C(a,0,0)$, $B\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, $S(0,0,2a)$, $H\left(\frac{a}{2},0,0\right)$. Đường thẳng $SC$: $K=S+\lambda (C-S)=(\lambda a,0,2a-2\lambda a)$. Điều kiện $\overrightarrow{KH}\cdot \overrightarrow{SC}=0$ với $\overrightarrow{SC}=(a,0,-2a)$, $\overrightarrow{KH}=\left(\frac{a}{2}-\lambda a,0,-2a+2\lambda a\right)$:
$$\left(\frac{1}{2}-\lambda \right)a^2+\left(-2+2\lambda \right)(-2a^2)=\left(\frac{9}{2}-5\lambda \right)a^2=0\Rightarrow \lambda =\frac{9}{10}.$$
Vậy $K\left(\frac{9a}{10},0,\frac{a}{5}\right)$, $\overrightarrow{KH}=\left(-\frac{2a}{5},0,-\frac{a}{5}\right)$, $KH=a\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{1}{25}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$.
- $\overrightarrow{KB}=\left(-\frac{2a}{5},\frac{a\sqrt{3}}{2},-\frac{a}{5}\right)$, $KB=a\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{3}{4}+\frac{1}{25}}=a\sqrt{\frac{19}{20}}=\frac{a\sqrt{19}}{2\sqrt{5}}$.

Kiểm tra: $K{B}^2=K{H}^2+B{H}^2=\frac{a^2}{5}+\frac{3a^2}{4}=\frac{19a^2}{20}$ ✓ (đúng định lý Pythagore vì $BH\perp KH$).

$$\cos \widehat{BKH}=\frac{KH}{KB}=\frac{\frac{a}{\sqrt{5}}}{\frac{a\sqrt{19}}{2\sqrt{5}}}=\frac{2}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{19}}{19},\tan \widehat{BKH}=\frac{BH}{KH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.$$

Vậy góc phẳng nhị diện $[A,SC,B]$ bằng $\arccos \frac{2\sqrt{19}}{19}=\arctan \frac{\sqrt{15}}{2}\approx 62^{\circ }43^{\prime }$.