Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b\ne 1$, mệnh đề nào sau đây sai?

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,x,y>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_a\frac{1}{x}={\log }_a{x}^{-1}=-{\log }_{a}x$, trong khi $\frac{1}{{\log }_{a}x}$ là giá trị khác. Ví dụ $x=a$ thì vế trái $=-1$, vế phải $=1$. Vậy A sai.
- B: ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ đúng theo tính chất logarit của tích.
- C: ${\log }_{b}a\cdot {\log }_{a}x=\frac{\ln a}{\ln b}\cdot \frac{\ln x}{\ln a}=\frac{\ln x}{\ln b}={\log }_{b}x$ đúng.
- D: ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ đúng theo tính chất logarit của thương.
Mệnh đề sai là A.