Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,AC=2a$ và $A^{\prime }B=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $\left[B^{\prime },AC,B\right]$

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, cạnh huyền $AC=2a$ nên $AB=BC=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông tại $A$: $A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{9a^2-2a^2}=a\sqrt{7}$. Gọi $H$ là trung điểm $AC$; tam giác $ABC$ cân tại $B$ nên $BH\perp AC$ và $BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}{2a}=a$. Vì $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AC$, kết hợp $BH\perp AC$ suy ra $AC\perp (BH{B}^{\prime })$, do đó $B^{\prime }H\perp AC$. Vậy góc phẳng nhị diện $[B^{\prime },AC,B]$ là $\widehat{B^{\prime }HB}$. Trong tam giác vuông $B^{\prime }HB$ (vuông tại $B$): $\tan \widehat{B^{\prime }HB}=\frac{B{B}^{\prime }}{BH}=\frac{a\sqrt{7}}{a}=\sqrt{7}$. Vậy góc cần tìm là $\arctan \sqrt{7}\approx 69,3^{\circ }$.