Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,AD=2a,A{A}^{\prime }=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $\left[A^{\prime },BD,A\right]$?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $BD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp BD$, kết hợp $AH\perp BD$ suy ra $BD\perp (A^{\prime }AH)$, do đó $A^{\prime }H\perp BD$. Vậy góc phẳng nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$ là $\widehat{A^{\prime }HA}$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $A$ với $AB=a$, $AD=2a$ nên $BD=a\sqrt{5}$. Đường cao:
$$AH=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{2a}{\sqrt{5}}.$$

Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp AH$, tam giác $A^{\prime }AH$ vuông tại $A$:
$$A^{\prime }H=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{H}^2}=\sqrt{9a^2+\frac{4a^2}{5}}=\frac{7a}{\sqrt{5}}.$$

Do đó:
$$\cos \widehat{A^{\prime }HA}=\frac{AH}{A^{\prime }H}=\frac{2a/\sqrt{5}}{7a/\sqrt{5}}=\frac{2}{7},$$
hoặc $\tan \widehat{A^{\prime }HA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AH}=\frac{3a}{2a/\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Vậy góc phẳng nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$ bằng $\arccos \frac{2}{7}\approx 73,4^{\circ }$.