Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tính góc phẳng nhị diện $[M,BD,A]$?

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ tọa độ: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0). Vì SA = a nên S(a/2, a/2, a/√2), do đó M trung điểm SC là M(3a/4, 3a/4, a/(2√2)).

Gọi O là giao điểm của AC và BD (tâm hình vuông), O(a/2, a/2, 0). Vì BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ OA và BD ⊥ OM. Do đó góc nhị diện [M, BD, A] là góc AOM (góc giữa hai tia OA và OM cùng vuông góc với BD tại O).

Tính các đoạn:
- OA = a√2/2.
- OM: M − O = (a/4, a/4, a/(2√2)), nên OM = a√(1/16 + 1/16 + 1/8) = a/2.
- Trong tam giác vuông SAC (SA = a, AC = a√2, SC = a√2), đường trung bình OM: O là trung điểm AC, M là trung điểm SC nên OM = SA/2 = a/2 (khớp).

Tính cos góc AOM bằng tích vô hướng: OA·OM = (−a/2, −a/2, 0)·(a/4, a/4, a/(2√2)) = −a²/4. Mà OA·OM = OA·OM·cos = (a√2/2)(a/2)cos = a²√2/4 · cos. Suy ra cos = (−a²/4)/(a²√2/4) = −1/√2 = −√2/2.

Vậy góc AOM = 135°. Lưu ý A và M nằm khác phía so với đường BD (A có x+y = 0 < a, M có x+y = 3a/2 > a), nên góc nhị diện [M, BD, A] là góc tù bằng 135°.