Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, $SC\perp (ABCD)$ và $SC=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $[B,SA,C]$?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hệ trục tọa độ: $C=(0;0;0)$, $B=(2a;0;0)$, $A=(2a;2a;0)$, $D=(0;2a;0)$, $S=(0;0;3a)$ vì $SC\perp (ABCD)$, $SC=3a$, đáy vuông cạnh $2a$.

Mặt phẳng $(SAC)$: $\overrightarrow{SA}=(2a;2a;-3a)$, $\overrightarrow{SC}=(0;0;-3a)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{SA}\times \overrightarrow{SC}\propto (1;-1;0)$, nên $(SAC):x-y=0$.

Mặt phẳng $(SAB)$: $\overrightarrow{SB}=(2a;0;-3a)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{SA}\times \overrightarrow{SB}\propto (3;0;2)$.

Góc nhị diện $[B,SA,C]$ là góc giữa $(SAB)$ và $(SAC)$:
$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{26}}.$$

Vậy $\phi =\arccos \frac{3}{\sqrt{26}}\approx 53,96^{\circ }\approx 54^{\circ }$. Kiểm tra lại bằng cách hình học: trong $(SAC)$, hạ $CH\perp SA$ với $H\in SA$; do $CB\perp (SAC)$... thực chất tính trực tiếp tọa độ đã xác nhận kết quả trên.