Biết ${\log }_{3}5=a;{\log }_{5}7=b$. Khi đó ${\log }_{45}175=\frac{na+kab}{m+a}$ (với $n,k,m$ là các số nguyên). Tính $S=m+n+k$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{45}175=\frac{{\log }_{3}175}{{\log }_{3}45}$. Với ${\log }_{3}5=a$ và ${\log }_{3}7={\log }_{3}5\cdot {\log }_{5}7=ab$, suy ra ${\log }_{3}175={\log }_3(25\cdot 7)=2a+ab$ và ${\log }_{3}45={\log }_3(9\cdot 5)=2+a$. Vậy ${\log }_{45}175=\frac{2a+ab}{2+a}$, tức $n=2,k=1,m=2$. Do đó $S=m+n+k=2+2+1=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (blankAnswers = 5).