Cho $x$ và $y$ là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn $x^2+9y^2=6xy$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1+{\log }_{12}x+{\log }_{12}y}{2{\log }_{12}(x+3y)}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+9y^2=6xy$, chia hai vế cho $y^2>0$ với $t=x/y$ được $t^2-6t+9=0$, tức $(t-3{)}^2=0$, suy ra $x=3y$ (thỏa mãn $x>1$, $y>1$). Khi đó $xy=3y^2$ và $x+3y=6y$.
Tử số: $1+{\log }_{12}x+{\log }_{12}y=1+{\log }_{12}(xy)={\log }_{12}(12\cdot 3y^2)={\log }_{12}(36y^2)$.
Mẫu số: $2{\log }_{12}(x+3y)=2{\log }_{12}(6y)={\log }_{12}(36y^2)$.
Vì $y>1$ nên $36y^2\ne 1$, do đó ${\log }_{12}(36y^2)\ne 0$ và $M=\frac{{\log }_{12}(36y^2)}{{\log }_{12}(36y^2)}=1$.