Biết ${\log }_{3}4=a;{\log }_{5}4=b$. Khi đó ${\log }_{12}80=\frac{mab+a}{nab+kb}$. Tính $S=m+n-k$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a={\log }_{3}4=\frac{2\ln 2}{\ln 3}$ và $b={\log }_{5}4=\frac{2\ln 2}{\ln 5}$, suy ra $\ln 2=\frac{a\ln 3}{2}$ và $\ln 5=\frac{\ln 2}{b}=\frac{a\ln 3}{2b}$.

Tính ${\log }_{12}80=\frac{\ln 80}{\ln 12}=\frac{4\ln 2+\ln 5}{2\ln 2+\ln 3}$.

Tử số: $4\ln 2+\ln 5=\ln 2\left(4+\frac{1}{b}\right)=\frac{a\ln 3}{2}\cdot \frac{4b+1}{b}=\frac{a\ln 3(4b+1)}{2b}$.

Mẫu số: $2\ln 2+\ln 3=\ln 3(a+1)$.

Vậy ${\log }_{12}80=\frac{a(4b+1)}{2b(a+1)}=\frac{4ab+a}{2ab+2b}$, tức $m=4,n=2,k=2$.

Suy ra $S=m+n-k=4+2-2=4$.