Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$.

a) Chứng minh: $D{C}^{\prime }\perp \left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng $(ABCD)$ và mặt phẳng $\left(A^{\prime }BD\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$.

a) Ta có $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a;0;a)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{D}^{\prime }CB)$ đi qua $B(a;0;0)$ với $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a;0;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$. Pháp tuyến của mặt phẳng: $\vec{n}=\overrightarrow{B{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{BC}=(-a^2;0;-a^2)\parallel (1;0;1)$. Vì $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a;0;a)$ cùng phương với $\vec{n}$ nên $D{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }{D}^{\prime }CB)$.

Cách chứng minh tổng quát (không cần toạ độ): Trong mặt phẳng $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ là hình vuông, $D{C}^{\prime }\perp D^{\prime }C$. Mặt khác $BC\perp (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là lập phương) nên $BC\perp D{C}^{\prime }$. Vì $D{C}^{\prime }\perp D^{\prime }C$, $D{C}^{\prime }\perp BC$ với $D^{\prime }C,BC$ cắt nhau trong $(A^{\prime }{D}^{\prime }CB)$ nên $D{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }{D}^{\prime }CB)$.

b) Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình vuông $ABCD$. Ta có:
- $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông);
- $BD\perp A{A}^{\prime }$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$).
Suy ra $BD\perp (A^{\prime }AC)$, do đó $BD\perp A^{\prime }C$.

Vì $BD$ là giao tuyến của $(ABCD)$ và $(A^{\prime }BD)$, đồng thời $BD\perp AC$ và $BD\perp A^{\prime }C$ nên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa $AC$ và $A^{\prime }C$, tức là $\widehat{A^{\prime }CA}$.

Tam giác $A{A}^{\prime }C$ vuông tại $A$ với $AC=a\sqrt{2}$, $A{A}^{\prime }=a$:
$$\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Vậy tang của góc giữa mặt phẳng $(ABCD)$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$.