Một cái lều có dạng hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên $A{A}^{\prime }$ vuông góc với đáy. Cho biết $AB=AC=2,4m;BC=2m;A{A}^{\prime }=3m$.



a) Tính góc giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$; $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $AC$.

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác $AB{B}^{\prime }$ trên mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18 (Phần IV): Lều là lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $AB=AC=2,4m$, $BC=2m$, $A{A}^{\prime }=3m$.

a) Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $A{A}^{\prime }\perp BC$, do đó góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $90^{\circ }$.

Vì lăng trụ đứng nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $AC$ bằng góc giữa $AB$ và $AC$, tức góc $A$ của tam giác $ABC$ cân tại $A$:
$$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}=\frac{2\cdot 2,4^2-2^2}{2\cdot 2,4^2}=\frac{7,52}{11,52}=\frac{47}{72}\approx 0,6528$$
Suy ra góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $AC$ xấp xỉ $49^{\circ }15^{\prime }$ (khoảng $49,25^{\circ }$).

b) Tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông tại $B$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AB$), diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot B{B}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2,4\cdot 3=3,6m^2$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime })$ và $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ là góc giữa $AB$ và $BC$ (giao tuyến $B{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AB$ và $B{B}^{\prime }\perp BC$), tức góc $B$ của tam giác $ABC$. Vì tam giác cân, đường cao từ $A$ xuống $BC$ đi qua trung điểm nên:
$$\cos B=\frac{BC/2}{AB}=\frac{1}{2,4}=\frac{5}{12}$$

Diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác $AB{B}^{\prime }$ trên $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$:
$$S^{\prime }=S\cdot \cos B=3,6\cdot \frac{5}{12}=1,5m^2$$

Kết luận: góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $BC$ là $90^{\circ }$; góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $AC$ xấp xỉ $49^{\circ }15^{\prime }$; diện tích hình chiếu là $1,5m^2$. Các tính toán đã được kiểm tra lại và khớp với lời giải AI được cung cấp.