Cho $a,b,c$ là các số dương $(a,b\ne 1)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề với $a,b,c>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_a\left(\frac{b}{a^3}\right)={\log }_{a}b-3{\log }_{a}a={\log }_{a}b-3\ne \frac{1}{3}{\log }_{a}b$ → sai.
- B: $a^{{\log }_{b}a}=a^{\frac{\ln a}{\ln b}}$, nói chung không bằng $b$ (ví dụ $a=4,b=2$: $4^{{\log }_{2}4}=4^2=16\ne 2$) → sai.
- C: ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b\ne \alpha {\log }_{a}b$ → sai.
- D: Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{b}c\cdot {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}\cdot {\log }_{a}b={\log }_{a}c$ → đúng.
Vậy mệnh đề đúng là D.