Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên trung tuyến $AM\perp BC$. Lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $AM\perp (BC{C}^{\prime })$ (vì $AM\perp BC$, $AM\perp C{C}^{\prime }$) $\Rightarrow (AM{C}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime })$: C đúng. Ta có $AB\perp AC$ và $AB\perp A{A}^{\prime }$ nên $AB\perp (AC{C}^{\prime })$ $\Rightarrow (AB{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime })$: A đúng. Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ với $A{A}^{\prime }\subset (AB{A}^{\prime })$ $\Rightarrow (ABC)\perp (AB{A}^{\prime })$: D đúng. Xét B: mặt phẳng $(A{C}^{\prime }M)$ không chứa đường vuông góc với $(ABC)$: nó không chứa $A{A}^{\prime }$ (chỉ chứa $A$, $C^{\prime }$, $M$) và không chứa $C{C}^{\prime }$; đường $AM$ nằm trong $(ABC)$. Vậy khẳng định B sai.

(AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo $AC\perp BD$ tại $O$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Do đó $AC\perp BD$ và $AC\perp SB$ với $BD$, $SB$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Mặt phẳng $(SAC)$ chứa $AC$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1702, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ cân tại $B$ và $I$ là trung điểm $AC$ nên $BI\perp AC$. Mặt khác $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BI$. Từ đó $BI\perp (SAC)$, suy ra $BI\perp SC$. Lại có $IH\perp SC$ (H là hình chiếu của I lên SC), hai đường thẳng $BI$ và $IH$ cắt nhau tại $I$ và cùng nằm trong $(BIH)$, nên $SC\perp (BIH)$. Vì $SC$ nằm trong $(SBC)$ nên $(BIH)\perp (SBC)$. Vậy khẳng định A đúng. Các phương án khác: B sai vì không có $AC\perp AB$; C sai vì giao tuyến $BC$ không vuông góc với $SA$ hay đường nào chứng minh được; D sai vì $(SAC)$ chứa $SC$ nên không thể vuông góc $(SBC)$.

Khẳng định sai: $(SBC)\perp (SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $(SAC)\perp (ABC)$: khẳng định A đúng. Tam giác $ABC$ cân tại $B$ với $I$ là trung điểm $AC$ nên $BI\perp AC$; kết hợp $BI\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) suy ra $BI\perp (SAC)$, do đó $BI\perp SC$ và $BI\perp IH$. Mặt khác $IH\perp SC$ nên $SC\perp (BIH)$, suy ra $(SBC)\perp (BIH)$ (B đúng) và $(SAC)\perp (BIH)$ (D đúng, vì $BI\subset (BIH)$ và $BI\perp (SAC)$). Với C: để $(SBC)\perp (SAC)$ cần một đường thẳng trong $(SBC)$ vuông góc với $(SAC)$; $BI\perp (SAC)$ nhưng $BI$ không nằm trong $(SBC)$, còn $SC$ không vuông góc với $(SAC)$. Vậy khẳng định C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $(ABC)\perp (AB{A}^{\prime })$ (D đúng). Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AM$ cũng là đường cao: $AM\perp BC$. Lại có $AM\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$), nên $AM\perp (BC{C}^{\prime })$. Mặt phẳng $(AM{C}^{\prime })$ chứa $AM$ nên $(AM{C}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime })$ (C đúng). Với A: $AB\perp AC$ và $AB\perp A{A}^{\prime }$ nên $AB\perp (AC{C}^{\prime })$, mặt $(AB{B}^{\prime })$ chứa $AB$ nên $(AB{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime })$ (A đúng). Với B: nếu $(A{C}^{\prime }M)\perp (ABC)$ thì vì giao tuyến của hai mặt là $AM$, đường thẳng $A{C}^{\prime }$ nằm trong $(A{C}^{\prime }M)$ phải vuông góc với $(ABC)$, tức $A{C}^{\prime }\perp AM$; nhưng tam giác $AM{C}^{\prime }$ có $AM\perp$ mặt $(BC{C}^{\prime })$ nên $AM\perp M{C}^{\prime }$, tức tam giác $AM{C}^{\prime }$ vuông tại $M$, không thể vuông tại $A$ (với $A{C}^{\prime }>AM$). Vậy mệnh đề B sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15: Cho hình chóp $S.ABC$, đáy $ABC$ vuông tại $C$, $SAC$ đều và $(SAC)\perp (ABC)$, $I$ trung điểm $SC$.

a) Ta có: $ABC$ vuông tại $C$ nên $BC\perp AC$. Mặt khác $(SAC)\perp (ABC)$, giao tuyến của hai mặt phẳng này là $AC$, mà $BC\subset (ABC)$ nên $BC\perp (SAC)$. Vì $BC\subset (SBC)$ nên theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, suy ra $(SBC)\perp (SAC)$. Đpcm.

b) Tam giác $SAC$ đều nên đường trung bình $AI$ đồng thời là đường cao, do đó $AI\perp SC$. Theo câu a) ta có $BC\perp (SAC)$, mà $AI\subset (SAC)$ nên $BC\perp AI$. Vậy $AI\perp SC$ và $AI\perp BC$, với $SC$, $BC$ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(SBC)$, suy ra $AI\perp (SBC)$. Vì $AI\subset (ABI)$ nên theo định lý, $(ABI)\perp (SBC)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ trong mặt đáy: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$. Vì $MB=\frac{a}{2}$ nên $M\left(a;\frac{a}{2}\right)$; vì $DN=\frac{3a}{4}$ nên $N\left(\frac{3a}{4};a\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(a;\frac{a}{2}\right)$ và $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{a}{4};\frac{a}{2}\right)$, nên:
$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{MN}=a\cdot \left(-\frac{a}{4}\right)+\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=0\Rightarrow AM\perp MN.$$

Mặt khác, $SA\perp (ABC)$ mà $MN\subset (ABC)$ nên $SA\perp MN$.

Vì $MN$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AM$ và $SA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAM)$, suy ra $MN\perp (SAM)$.

Lại có $MN\subset (SMN)$, nên theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, ta được $(SAM)\perp (SMN)$. $■$

(AI giải đề cho tôi)

a) Vì $(SAB)\cap (SAD)=SA$ và cả hai mặt phẳng này cùng vuông góc với $(ABCD)$ nên theo tính chất ba mặt phẳng vuông góc, giao tuyến $SA\perp (ABCD)$. Suy ra $SA\perp BD$ (vì $BD\subset (ABCD)$).

b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$. Xét hai tam giác vuông $SAB$ và $SAD$ vuông tại $A$ chung cạnh $SA$, có $AB=AD$ (đáy là hình vuông) nên $△SAB=△SAD$; suy ra $SB=SD$ và $△ASB=△ASD$.

Trong tam giác vuông $SAB$, $AH\perp SB$ nên $SH=SA\cos △ASB=SA\cos △ASD=SK$ và $AH=SA\sin △ASB=AK$. Vì $AB=AD$, $SB=SD$, $SA$ chung nên $B$ và $D$ đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$ (mặt phẳng đi qua $SA$ và đường chéo $AC$ của hình vuông). Do $SH=SK$ với $H\in SB$, $K\in SD$, ta có $H$ và $K$ đối xứng qua $(SAC)$, suy ra $HK\perp (SAC)$.

Mà $HK\subset (AHK)$ nên theo định lý về mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng khác, $(SAC)\perp (AHK)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $a$ không vuông góc với $(\alpha )$. Nếu $a$ cắt $(\alpha )$ tại điểm $A$ (không vuông góc) hoặc $a$ song song với $(\alpha )$, ta lấy đường thẳng $d$ đi qua một điểm thuộc $a$ (hoặc giao điểm) và vuông góc với $(\alpha )$. Mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $(\alpha )$ phải chứa $d$ (theo định lí: nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc). Hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $d$ (hoặc $a$ song song với $(\alpha )$: lấy $d$ qua điểm bất kỳ trên $a$, khi đó $a$ và $d$ cắt nhau hoặc song song nhưng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất) xác định duy nhất một mặt phẳng, và mặt phẳng đó vuông góc với $(\alpha )$. Vậy có đúng 1 mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $(\alpha )$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc nhau: $AC\perp BD$ (tại giao điểm $O$). Vì $SB\perp (ABCD)$ và $AC\subset (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Khi đó $AC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $SB$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Mà $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB\perp BC$ và trung tuyến $BM\perp AC$ (B đúng). Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BM$; kết hợp $BM\perp AC$ suy ra $BM\perp (SAC)$, mà $BM\subset (SBM)$ nên $(SBM)\perp (SAC)$ (C đúng). Ta có $AB\perp SA$ và $AB\perp BC$ nên $AB\perp (SBC)$, do đó $(SAB)\perp (SBC)$ (D đúng). Xét A: giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAC)$ là $SA$; để $(SAB)\perp (SAC)$ cần một đường thẳng trong $(SAC)$ vuông góc với $(SAB)$, tức vuông góc với cả $SA$ và $AB$. Đường thẳng trong $(SAC)$ vuông góc với $SA$ phải song song với $AC$, mà $AC$ không vuông góc với $AB$ (góc $BAC=45^{\circ }$). Vậy mệnh đề A sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đề khớp Câu 63 (mệnh đề sai). Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$; tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB\perp AC$, $AM\perp BC$.
- A đúng: $AB\perp AC$ và $AB\perp A{A}^{\prime }$ nên $AB\perp (AC{C}^{\prime })$, mà $AB\subset (AB{B}^{\prime })$ nên $(AB{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime })$.
- B sai: $(A{C}^{\prime }M)$ có giao tuyến với $(ABC)$ là $AM\subset (ABC)$ và không chứa đường thẳng nào vuông góc với $(ABC)$ (không chứa $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$), nên không vuông góc với $(ABC)$.
- C đúng: $AM\perp BC$ và $AM\perp C{C}^{\prime }$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$) nên $AM\perp (BC{C}^{\prime })$, mà $AM\subset (AM{C}^{\prime })$ nên $(AM{C}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime })$.
- D đúng: $(AB{A}^{\prime })$ chứa $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $(ABC)\perp (AB{A}^{\prime })$.
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, suy ra $A{A}^{\prime }\perp AB$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB\perp AC$. Từ đó $AB\perp (AC{C}^{\prime })$ (vì $AB$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $A{A}^{\prime }$ và $AC$ trong mặt phẳng $(AC{C}^{\prime })$). Vì $AB\subset (AB{B}^{\prime })$ nên $(AB{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime })$. Vậy mệnh đề A đúng. Các mệnh đề B, C, D không có cơ sở đúng: không có dữ kiện bảo đảm $A{C}^{\prime }\perp (ABC)$ hay $(AM{C}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, và $(ABC)$ không vuông với $(C^{\prime }AM)$ vì giao tuyến $AM$ nằm trong $(ABC)$ nhưng $C^{\prime }A$ không vuông góc $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ cân tại $B$ với $I$ là trung điểm $AC$ nên $BI\perp AC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BI$. Do đó $BI\perp (SAC)$, suy ra $BI\perp SC$. Mặt khác $IH\perp SC$ (vì $H$ là hình chiếu của $I$ lên $SC$), và $BI\cap IH=I$ nên $SC\perp (BIH)$. Vì $SC\subset (SBC)$ nên $(BIH)\perp (SBC)$. Vậy đáp án A đúng. Các phương án B, C, D sai vì không có cơ sở để $(SAC)\perp (SAB)$, $(SBC)\perp (ABC)$ hay $(SAC)\perp (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$ chứa đường chéo $AC$ của đáy. Ta có $AC\perp BD$ (hai đường chéo của hình vuông $ABCD$) và $AC\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AC$). Từ đó $AC\perp (B^{\prime }BD)$. Vì $AC\subset (A{B}^{\prime }C)$ nên theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, $(A{B}^{\prime }C)\perp (B^{\prime }BD)$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tam giác $SAC$ cân tại $S$ vì $SA=SC$; $O$ là tâm hình thoi nên là trung điểm $AC$. Đường trung tuyến $SO$ đồng thời là đường cao: $SO\perp AC$. Đúng.
b) Tương tự, tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$) nên $SO\perp BD$. Hình thoi có $AC\perp BD$. Suy ra $BD\perp SO$ và $BD\perp AC$ với $SO,AC$ cắt nhau trong $(SAC)$, nên $BD\perp (SAC)$; vì $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Đúng.
c) $AC\perp BD$ (hình thoi) và $AC\perp SO$ (câu a), $BD$ và $SO$ cắt nhau và cùng nằm trong $(SBD)$, nên $AC\perp (SBD)$. Đúng.
d) Góc giữa $AC$ và $SB$ phụ thuộc vào tỉ lệ hai đường chéo hình thoi và độ dài $SO$ (vị trí điểm $S$), các giả thiết không cố định giá trị này, nên không thể khẳng định bằng $60^{\circ }$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $SAC$ cân tại $S$, $O$ trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SO\perp BD$ và $AC\perp BD$ suy ra $BD\perp (SAC)$, mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ và $AC\perp SO$, $BD\cap SO=\{O\}\subset (SBD)$ nên $AC\perp (SBD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $AC$ và $SB$ phụ thuộc kích thước hình thoi và vị trí $S$, không cố định bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $a$ không vuông góc với $(\alpha )$. Lấy điểm $A$ thuộc $a$. Qua $A$ kẻ đường thẳng $b$ vuông góc với $(\alpha )$ (nếu $a\subset (\alpha )$ thì $b$ qua $A$ vuông góc $(\alpha )$; nếu $a\not\subset (\alpha )$, gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(\alpha )$, $b=AH$). Mặt phẳng $(\beta )$ chứa $a$ và $b$ là duy nhất và $(\beta )\perp (\alpha )$ (vì chứa $b\perp (\alpha )$). Mặt phẳng bất kỳ chứa $a$ và vuông góc với $(\alpha )$ phải chứa đường vuông góc với $(\alpha )$ qua điểm $A$ thuộc $a$, tức phải chứa $b$, nên trùng với $(\beta )$. Vậy có đúng $1$ mặt phẳng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. Tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC$) có $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tương tự, tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$) nên $SO\perp BD$. Do đó $SO\perp (ABCD)$ (A đúng). Suy ra mặt phẳng $(SAC)$ chứa $SO$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$ (D đúng), và $(SBD)$ chứa $SO$ nên $(SBD)\perp (ABCD)$ (C đúng). Mệnh đề $SC\perp (SBD)$ (B) không được suy ra từ giả thiết và nói chung sai, vì nếu $SC\perp (SBD)$ thì $SC\perp SO$, mâu thuẫn với việc $SO\perp (ABCD)$ và $SC$ không nằm trong đáy. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $c\perp a$ và $c\perp b$ với $a\parallel b$ chỉ cho biết $c$ vuông góc với phương của $a,b$; $c$ có thể không cắt mặt phẳng $(a,b)$ nên không kết luận được $c\perp (a,b)$, do đó không thể suy ra mọi mặt phẳng chứa $c$ vuông góc với $(a,b)$.
- B đúng: Đây là định lý quen thuộc: nếu $a\perp (\alpha )$ thì mọi mặt phẳng $(\beta )$ chứa $a$ đều vuông góc với $(\alpha )$ (điều kiện đủ để hai mặt phẳng vuông góc).
- C sai: $a\perp b$ chỉ cho $a$ vuông góc với một đường thẳng $b$ trong mặt phẳng; để $a$ vuông góc với mặt phẳng chứa $b$ thì $a$ phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó.
- D sai: $a\subset (\alpha )$, $b\subset (\beta )$ và $a\perp b$ không đủ để kết luận $(\alpha )\perp (\beta )$ (cần $a$ vuông góc với $(\beta )$ hoặc $b$ vuông góc với $(\alpha )$).
Vậy mệnh đề đúng là B.