Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Số khách hàng nam mua bảo hiểm ở từng độ tuổi được thống kê như sau:

Hãy sử dụng dữ liệu ở trên để tư vấn cho đại lí bảo hiểm xác định khách hàng nam ở tuổi nào hay mua bảo hiểm nhất.

Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở lô hàng A được cho ở bảng sau:

Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A xấp xỉ bằng

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào trong các giá trị dưới đây?

Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:

Một của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc. Chọn phát biểu đúng

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. $P(A)=0,5;P(AB)=0,2$. Xác suất $P(A\cup B)$ bằng

Một hộ đựng 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộ. Gọi $A$ là biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn lớn hơn 9”; $B$ là biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số không nhỏ hơn 8 và không lớn hơn 15”. Số phần tử của $A\cup B$ là

Một hộ đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộ. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.

Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 16 bạn nam và 14 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn vào đội cờ đỏ. Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam hoặc nữ.

Một chiếc hộp chứa 9 viên bi cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 4 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 viên bi. Xác suất của biến cố “lấy được 2 viên bi cùng màu” bằng

Một chiếc hộp có 10 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên từ hộp ra 1 thẻ. Xét các biến cố:
$A$: “Số ghi trên thẻ được lấy ra là số lớn hơn 6”;
$B$: “Số ghi trên thẻ được lấy ra là không vượt quá 5”;
Tính xác suất của biến cố $A\cup B$?

Một hộp đựng 9 tấm thẻ cùng loại được ghi số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ từ trong hộp. Xác suất để “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn” là

Hộp $A$ có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp $B$ có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu là

Có 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ xếp thành hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất để các bạn nữ đứng cạnh nhau hoặc nam nữ đứng xen kẽ.

Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất để cả ba xạ thủ cùng bắn trúng.

Một tổ hợp máy có hai động cơ $I$ và $II$ hoạt động độc lập nhau, xác suất động cơ $I$ hoạt động được là 0,9, xác suất động cơ $II$ hoạt động được là 0,95. Biết tổ hợp máy chạy được nếu ít nhất một động cơ hoạt động. Tính xác suất để tổ hợp máy cháy được.

Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,7. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là

Ba người thi bắn cung. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0,6. Người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0,8. Người thứ ba có xác suất bắn trúng là 0,9. Tính xác suất để có đúng một người bắn trúng mục tiêu.

Dựa vào bảng tần số mẫu số liệu ghép nhóm sau, hãy tìm tứ phân vị của nó.

Khi đó

Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

Cho $P(A)=0,4$ và $P(B)=0,2$ và các biến cố $B,C,D$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

Kết quả thu thập điểm số môn Toán của 25 học sinh khi tham gia kì thi học sinh giỏi toán 11 (thang điểm 20) cho ta bảng tần số ghép nhóm sau:

Tìm trung vị, mốt, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
(1) Biết $P(A)=0,8$ và $P(AB)=0,2$. Tính xác suất của biến cố $A\cup B$.
(2) Biết $P(B)=0,3$ và $P(A\cup B)=0,6$. Tính xác suất của biến cố $A$.

Một hộp chứa 100 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố "Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 hoặc 5".

Ba xạ thủ lần lượt bắn vào một bia. Xác suất để xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6; 0,5. Tính xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích.

Trong không gian, góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ là góc giữa hai đường thẳng $a^{\prime }$ và $b^{\prime }$ thỏa mãn

Trong không gian, hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ (tham khảo hình vẽ).

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $B{C}^{\prime }$?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với $BD$.

Cho hình lăng trụ $ABCD.EFGH$ có 6 mặt đều là hình vuông. Tính góc giữa hai đường thẳng $EG$ và $GD$.

Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông $ABCD$ có cạnh dài khoảng $230m$, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng $219m$. Tính gần đúng góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và cạnh đáy $AB$ của kim tự tháp.

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Biết $MN=\sqrt{3}a$, góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Hình chiếu vuông góc của điểm $C^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ (tham khảo hình vẽ). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SB$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Hình chiếu vuông góc của tam giác $△SCD$ mặt phẳng $(ABCD)$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng $SC$ và $(ABCD)$ là góc nào sau đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=a\sqrt{2}$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AB=a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, biết đáy $ABCD$ là hình vuông. Xác định góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$.

Cho hình chóp $S.ABC$. Biết $SA\perp (ABC)$, $H$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BC$. Xác định góc nhị diện $[H,SA,B]$.

Cho đường thẳng $a$ không vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $(\alpha )$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ và $SA=SC$, $SB=SD$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Trong không gian, cho hai đường thẳng bất kỳ.

Cho hình chóp $SABCD$, $ABCD$ là hình vuông có tâm $O$ và $SA=SB=SC=SD$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$. Biết $SA=SC$ và $SB=SD$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$.

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng $AB=AC=a,AD=a\sqrt{3}$. Khi đó:

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{3}$, cạnh bên bằng $2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và có cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.
a) Chứng minh $BC$ vuông góc với mp$(SAB)$.
b) Gọi $AH$ là đường cao của $△SAB$. Chứng minh $AH\perp SC$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,AD=2a,A{A}^{\prime }=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$? (tính theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy tâm $O$ cạnh $a$ và cạnh bên là $a\sqrt{7}$. Tính góc phẳng nhị diện $[S,BC,O]$? (tính theo độ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB=a\sqrt{3}$ và $BC=a$ (minh họa hình vẽ bên).
a) CMR: $BC$ vuông góc mp$(SAB)$.
b) Tính góc giữa hình chiếu của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $SA\perp (ABC)$.
a) Chứng minh $BC\perp (SAB)$.
b) Gọi $AH$ và $AK$ là đường cao của $△SAB,△SAC$. Chứng minh $SC\perp (AHK)$.
c) $HK$ cắt tia $CB$ tại $I$. Chứng minh: $△AIC$ vuông.