Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng $AB=AC=a,AD=a\sqrt{3}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $D(0,0,a\sqrt{3})$ vì $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc.

(a) Vì $AC\perp AB$ và $AC\perp AD$ (giả thiết) nên $AC\perp (ABD)$. Đúng.

(b) Vì $AC\perp (ABD)$ nên hình chiếu của $C$ lên $(ABD)$ là $A$, góc giữa $CD$ và $(ABD)$ là góc $CDA$ trong tam giác vuông $CAD$: $\tan \widehat{CDA}=\frac{AC}{AD}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CDA}=30^{\circ }$. Đúng.

(c) Gọi $H$ là trung điểm $BC$, khi đó $AH\perp BC$ (vì $ABC$ vuông cân tại $A$, $AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$) và $DH\perp BC$ (kiểm tra bằng tọa độ: $\overrightarrow{DH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$). Góc nhị diện $[A,BC,D]$ là $\widehat{AHD}$, với $\tan \widehat{AHD}=\frac{AD}{AH}=\frac{a\sqrt{3}}{a/\sqrt{2}}=\sqrt{6}\Rightarrow \widehat{AHD}\approx 67,79^{\circ }\ne 87,79^{\circ }$. Sai.

(d) Vì $AB\perp AC$ và $AB\perp AD$ nên $AB\perp (ACD)$, do đó góc nhị diện $[C,AB,D]$ là góc $\widehat{CAD}=90^{\circ }$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp AB$ và $AC\perp AD$ nên $AC\perp (ABD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $C$ lên $(ABD)$ là $A$; $\tan \widehat{CDA}=\frac{AC}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow 30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[A,BC,D]=\widehat{AHD}$ với $H$ trung điểm $BC$, $\tan \widehat{AHD}=\frac{AD}{AH}=\sqrt{6}\Rightarrow \approx 67,79^{\circ }$, không phải $87,79^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB\perp (ACD)$ nên góc nhị diện $[C,AB,D]=\widehat{CAD}=90^{\circ }$.