Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,AD=2a,A{A}^{\prime }=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$? (tính theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $A^{\prime }(0;0;3a)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$; vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $H$ cũng là hình chiếu của $A^{\prime }$ trên $BD$, do đó $[A^{\prime },BD,A]=\widehat{A^{\prime }HA}$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$: $BD=a\sqrt{5}$, diện tích $△ABD=\frac{1}{2}AB\cdot AD=a^2=\frac{1}{2}BD\cdot AH\Rightarrow AH=\frac{2a}{\sqrt{5}}$. Tam giác $A^{\prime }HA$ vuông tại $H$: $\tan \widehat{A^{\prime }HA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AH}=\frac{3a}{2a/\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\approx 3,3541$. Vậy góc nhị diện $[A^{\prime },BD,A]=\arctan \frac{3\sqrt{5}}{2}\approx 73,4^{\circ }$.