Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB=a\sqrt{3}$ và $BC=a$ (minh họa hình vẽ bên).
a) CMR: $BC$ vuông góc mp$(SAB)$.
b) Tính góc giữa hình chiếu của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Tự luận):

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mà $BC$ nằm ngoài mp$(SAB)$, $AB\subset (SAB)$, $SA\subset (SAB)$, $AB\cap SA=A$, suy ra $BC\perp (SAB)$.

b) Vì $BC\perp (SAB)$ nên $B$ là hình chiếu của $C$ trên mp$(SAB)$, do đó hình chiếu của $SC$ trên mp$(SAB)$ là $SB$. Góc giữa $SC$ và mp$(SAB)$ là $\widehat{CSB}$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SA=2a$, $AB=a\sqrt{3}$ nên $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{4a^2+3a^2}=a\sqrt{7}$.

Vì $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp SB$, tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $BC=a$, $SB=a\sqrt{7}$:
$$\tan \widehat{CSB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow \widehat{CSB}\approx 20,7^{\circ }.$$

Vậy góc giữa hình chiếu của đường thẳng $SC$ và mp$(SAB)$ bằng $\arctan \frac{1}{\sqrt{7}}\approx 20,7^{\circ }$.