Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình lập phương cạnh $a$ với tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,a)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,a,-a)$.

$$\cos (AC,A^{\prime }D)=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }D}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{A^{\prime }D}|}=\frac{|0+a^2+0|}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng $60^{\circ }$.

Cách khác: $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ (vì $A^{\prime }D{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành), nên góc giữa $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng góc giữa $AC$ và $B^{\prime }C$. Tam giác $A{B}^{\prime }C$ có $A{B}^{\prime }=B^{\prime }C=AC=a\sqrt{2}$ là tam giác đều, nên góc $\widehat{AC{B}^{\prime }}=60^{\circ }$.