Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
$BC$ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, còn $SA$ chỉ cắt mặt phẳng đáy tại $A$ và $A\notin BC$. Do đó $BC$ và $SA$ không nằm cùng một mặt phẳng, không song song và không cắt nhau, tức là hai đường thẳng chéo nhau. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên $b$ không song song với $a$. Đường thẳng $c$ song song với $a$ nên $c$ cũng không song song với $b$ (nếu $c$ song song $b$ thì $a$ song song $b$, mâu thuẫn). Do đó $b$ và $c$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ: trong hình hộp, nếu $a=AB$ thì $c=D_1{C}_1$ chéo với $b=A{A}_1$... cụ thể: chọn $b$ nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng song song với $a$ qua $b$ thì $b$ cắt $c$; ngược lại $b$ chéo với $c$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MN\parallel AC$. Do đó A đúng. Kiểm tra các phương án khác: $MP$ nối trung điểm $AB$ và $CD$ trong tứ diện, không song song với $AD$ hay $BC$ ($MP$ là cạnh của tam giác trung bình trong mặt phẳng $(ABD)$ chỉ khi so với $BD$... thực tế $MP$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$? Không: $P$ thuộc $CD$ nên $MP$ không thuộc mặt nào đơn giản; $MP$ không song song $AD$ vì $M$, $P$ không cùng thuộc một mặt phẳng chứa $AD$). $BC$ và $AD$ là hai đường chéo của tứ diện, chéo nhau nên không có điểm chung, C sai. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, bốn đỉnh không đồng phẳng nên hai cạnh đối như $AB$ và $CD$ không cùng mặt phẳng nào, do đó chúng chéo nhau (không song song, không cắt nhau). Tương tự $AD$ và $BC$, $AC$ và $BD$ cũng chéo nhau chứ không cắt nhau. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $I$ thuộc trung tuyến $CM$, với $\overrightarrow{MI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$, tức $MI=\frac{1}{3}MC$. Tương tự $J$ thuộc trung tuyến $DM$ với $MJ=\frac{1}{3}MD$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{MJ}-\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $IJ$ song song với $CD$ (và $IJ=\frac{1}{3}CD$). Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng phân biệt, không có điểm chung và cùng nằm trong một mặt phẳng: chúng không thể cắt nhau (sẽ có điểm chung) và không thể chéo nhau (chéo nhau thì không cùng mặt phẳng). Vậy chúng song song. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Giả sử $AC$ và $BD$ đồng phẳng thì $A,B,C,D$ đồng phẳng, mâu thuẫn. Hai đường thẳng không đồng phẳng nên không trùng, không song song, không cắt nhau; chúng không có điểm chung (nếu có điểm chung thì đồng phẳng). Vậy $AC$ và $BD$ chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABD, M trung điểm AB, N trung điểm AD nên MN là đường trung bình: MN // BD và MN = BD/2 ⇒ A đúng. Vì MN // BD, MN ⊄ (BCD), BD ⊂ (BCD) nên MN // (BCD) ⇒ B đúng. Tương tự QP là đường trung bình tam giác BCD nên QP // BD và QP = BD/2, do đó MN // QP và MN = QP ⇒ MNPQ là hình bình hành ⇒ C đúng. Trong hình bình hành MNPQ, MP và NQ là hai đường chéo nên chúng cắt nhau tại giao điểm hai đường chéo, không thể chéo nhau ⇒ D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng nên hai đường thẳng $AB$ và $CD$ không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Chúng không song song (nếu song song thì đồng phẳng), không cắt nhau (nếu cắt nhau thì đồng phẳng), và không tồn tại mặt phẳng nào chứa cả hai. Vậy $AB$ và $CD$ chéo nhau. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $a,b$ cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung, nên chúng không trùng nhau, không cắt nhau và không thể chéo nhau (vì chéo nhau thì không cùng thuộc mặt phẳng nào). Do đó $a$ và $b$ song song. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $CD$ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, còn $SB$ không nằm trong $(ABCD)$. Giả sử $SB$ cắt $CD$ tại điểm $M$ thì $M\in SB\cap (ABCD)$. Mà $B\in SB\cap (ABCD)$, nếu $M\ne B$ thì $SB\subset (ABCD)$ (vô lý vì $S\notin (ABCD)$), nên $M=B$. Nhưng $B\notin CD$ vì $ABCD$ là hình bình hành (không có ba đỉnh nào thẳng hàng), nên $SB$ và $CD$ không cắt nhau. Chúng cũng không song song vì $SB$ không nằm trong $(ABCD)$ và không thể song song với mọi đường trong mặt phẳng đó qua vị trí này. Vậy $SB$ và $CD$ chéo nhau. Khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
$SB$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, còn $CD$ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Giả sử $SB$ và $CD$ đồng phẳng thì mặt phẳng chứa chúng phải chứa $B$, $C$, $D$ tức là mặt phẳng đáy, khi đó $S$ phải thuộc đáy — vô lý. Vậy $SB$ và $CD$ không đồng phẳng, không song song và không cắt nhau, nên chúng chéo nhau. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã 1101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng trong không gian phân biệt có ba vị trí tương đối: cắt nhau, song song, hoặc chéo nhau. - A sai: hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song (cùng nằm trong một mặt phẳng), không nhất thiết chéo nhau. - B đúng: hai đường thẳng chéo nhau không cùng mặt phẳng nên không có điểm chung. - C đúng: đúng theo định nghĩa, hai đường thẳng phân biệt không cắt và không song song thì chéo nhau. - D đúng: hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng, nên hoặc cắt nhau hoặc song song. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì hoặc là song song (cùng nằm trong một mặt phẳng) hoặc là chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng). Do đó đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm của $SA$ và $Q$ là trung điểm của $SC$. Theo định lý đường trung bình, $MQ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MQ\parallel AC$. Do đó khẳng định đúng là $MQ\parallel AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng phân biệt, không có điểm chung và cùng nằm trong một mặt phẳng: theo định nghĩa, chúng song song. Nếu chéo nhau thì không cùng mặt phẳng; nếu cắt nhau thì có điểm chung; trùng nhau mâu thuẫn với 'phân biệt'. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung thì hoặc cùng nằm trong một mặt phẳng (khi đó song song) hoặc không cùng mặt phẳng (khi đó chéo nhau). Mệnh đề đúng. (B) Sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song chứ không nhất thiết chéo nhau. (C) Sai vì hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng có thể cắt nhau, không nhất thiết song song. (D) Sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng vẫn có thể cắt nhau hoặc song song (ví dụ hai cạnh của hình hộp). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng và không có điểm chung; nếu $a$, $b$ cắt nhau thì cũng không có mặt phẳng nào chứa cả hai (định nghĩa đúng phải là 'không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng và chúng không có điểm chung' — thực chất hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng). B sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau, không nhất thiết song song. C đúng theo tính chất chuyển tiếp của tính song song: nếu $a//c$ và $b//c$ thì $a//b$ (đây là định lý về ba đường thẳng song song trong không gian). D sai vì hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau, chéo nhau hoặc song song với nhau (ví dụ trong hình hộp, nhiều đường thẳng cùng song song với đáy nhưng không song song với nhau). Vậy mệnh đề đúng là $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (với $E,F,G,H$ lần lượt dưới $A,B,C,D$):
- A đúng: $HD$ là cạnh bên (song song $AE,BF,CG$), còn $BG$ là đường chéo của mặt bên $(BCGH)$. $BG$ và $HD$ không song song, không cùng mặt phẳng và không có điểm chung nên chéo nhau.
- B đúng: $BF$ là cạnh bên, $AD$ nằm trong đáy trên; chúng không cùng mặt phẳng, không song song, không cắt nên chéo nhau.
- C đúng: $AB\parallel DC$ và $HG\parallel DC$ nên $AB\parallel HG$.
- D sai: $CG$ là cạnh bên còn $HE$ là cạnh của đáy dưới, chúng không cùng mặt phẳng, không song song và không có điểm chung, tức là chéo nhau chứ không cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Trọng tâm $I$ của tam giác $ABD$ nằm trên trung tuyến $DM$ với $MI=\frac{1}{3}MD$; trọng tâm $J$ của tam giác $ABC$ nằm trên trung tuyến $CM$ với $MJ=\frac{1}{3}MC$. Trong tam giác $MDC$, ta có $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{MJ}-\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{MD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$. Vậy $IJ\parallel DC$, tức $IJ$ song song với $CD$. Đáp án B.