Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABC: M trung điểm AC, P trung điểm BC nên MP là đường trung bình, do đó MP // AB. Xét tam giác SAD: R trung điểm SA, T trung điểm SD nên RT là đường trung bình, do đó RT // AD.
a) MP // AB còn RT // AD, mà AB không song song AD (hai cạnh kề nhau tại A), nên MP không song song RT → mệnh đề ĐÚNG.
b) Trong tam giác ACD: M trung điểm AC, Q trung điểm CD nên MQ là đường trung bình, MQ // AD. Mà RT // AD nên MQ // RT (MQ và RT cùng nằm trong mặt phẳng (SAD)... thực tế MQ nằm trong (ACD), RT trong (SAD); cả hai đều song song AD nên MQ // RT theo định nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian) → mệnh đề ĐÚNG.
c) MN nối trung điểm hai đường chéo AC và BD của tứ diện ABCD, không song song với AD nói chung (ví dụ lấy A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1): M(0,1/2,0), N(1/2,0,1/2), vector MN = (1/2,-1/2,1/2) không cùng phương AD = (0,0,1)) → mệnh đề SAI.
d) PQ nối trung điểm BC và CD trong tam giác BCD nên PQ // BD; BD không song song AD (chung điểm D) nên PQ không song song RT → mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
MP là đường trung bình tam giác ABC nên MP // AB; RT là đường trung bình tam giác SAD nên RT // AD. Vì AB cắt AD tại A nên MP không song song RT.
b) (AI giải đề cho tôi)
MQ là đường trung bình tam giác ACD nên MQ // AD; mà RT // AD nên MQ // RT.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN nối trung điểm hai đường chéo AC, BD của tứ diện ABCD, không cùng phương với AD nên MN không song song RT.
d) (AI giải đề cho tôi)
PQ là đường trung bình tam giác BCD nên PQ // BD; BD cắt AD tại D nên PQ không song song RT (RT // AD).

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,BC$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD\Rightarrow MN\parallel CD$ (1)

$J,I$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $ABD\Rightarrow \frac{AI}{AM}=\frac{AJ}{AN}=\frac{2}{3}\Rightarrow IJ\parallel MN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $IJ\parallel CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB', BC, CD trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' (đáy ABCD là hình chữ nhật).
a) Sai. Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (BCC'B'). Đường thẳng A'C cắt mặt phẳng (BCC'B') tại điểm C. Mà MN đi qua N thuộc BC, N không trùng C (N là trung điểm BC), nên MN không đi qua C, do đó MN và A'C không cắt nhau (chỉ nằm chéo nhau). Vậy khẳng định 'MN cắt A'C' sai.
b) Đúng. Trong tam giác BB'C, M là trung điểm BB', N là trung điểm BC nên MN là đường trung bình, suy ra MN ∥ B'C. Vì MN ⊂ (MNP) và B'C ⊄ (MNP), theo định lí đường thẳng song song với mặt phẳng ta có B'C ∥ (MNP).
c) Đúng. Trong tam giác BCD, N, P lần lượt là trung điểm BC, CD nên NP là đường trung bình, suy ra NP ∥ BD. Mặt khác BD ∥ B'D' (tính chất hình hộp), nên NP ∥ B'D'.
d) Sai. Ta có NP ∥ BD với BD ⊂ (ABD'), tức NP ∥ (ABD'). Nếu (MNP) ∥ (ABD') thì mọi đường thẳng trong (MNP) phải song song hoặc nằm trong (ABD'). Xét MN ∥ B'C (chứng minh ở trên). Dùng hệ tọa độ A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,h), B'(1,0,h), D'(0,1,h): mặt phẳng (ABD') có vectơ pháp tuyến n = AB × AD' = (0, −h, 1), còn B'C = (0, 1, −h). Tích vô hướng n · B'C = −h − h = −2h ≠ 0, nên B'C không song song (ABD'), tức MN không song song (ABD'). Vậy hai mặt phẳng (MNP) và (ABD') cắt nhau, khẳng định sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102: 1a S, 1b Đ, 1c Đ, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
MN ⊂ (BCC'B'), A'C cắt (BCC'B') tại C, mà MN không đi qua C nên MN và A'C không cắt nhau (nằm chéo nhau).
b) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác BB'C nên MN ∥ B'C, suy ra B'C ∥ (MNP).
c) (AI giải đề cho tôi)
NP là đường trung bình tam giác BCD nên NP ∥ BD ∥ B'D'.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN ∥ B'C nhưng B'C không song song (ABD') (kiểm tra bằng tích vô hướng pháp tuyến cho −2h ≠ 0), nên (MNP) cắt (ABD'), không song song.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: (A) $J\in AB$, $K\in BC$ nên $JK\subset (ABC)$; vì $K$ không phải trung điểm $BC$ nên $JK$ không song song $AC$, do đó $JK$ và $AC$ cắt nhau → đúng. (B) $AK\subset (ABC)$, còn $OC$ chỉ gặp $(ABC)$ tại $C\notin AK$; hai đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng, không cắt, không song song nên $AK$ và $OC$ chéo nhau → đúng. (C) $L\in OC$, $K\in BC$ nên $LK\subset (OBC)$; vì $KB=2KC$ nên $LK$ không song song $OB$, vậy $LK$ và $OB$ cắt nhau → đúng. (D) $EK$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ tại $K$ (vì $E\notin (ABC)$), còn $OC$ cắt $(ABC)$ tại $C\notin EK$; do đó $EK$ và $OC$ chéo nhau, không cắt nhau → khẳng định SAI. Khớp đáp án nguồn D (mã đề 1102, câu 11).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ $O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$. Khi đó $E(\frac{1}{2},0,0)$, $J(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $L(0,0,\frac{1}{2})$, và vì $KB=2KC$ nên $K$ chia $BC$ theo tỉ lệ $2:1$: $K(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.
- A: $AK$: $(1-t,\frac{t}{3},\frac{2t}{3})$; $OC$: $(0,0,s)$. Từ $x=0\Rightarrow t=1$ nhưng khi đó $y=\frac{1}{3}\ne 0$, không có giao điểm và không song song → $AK$ và $OC$ chéo nhau. A đúng.
- B: $J\in AB,K\in BC$ nên $JK\subset (ABC)$; $AC\subset (ABC)$. $\overrightarrow{JK}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{6},\frac{2}{3})$ không tỉ lệ $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$ → hai đường cắt nhau (nghiệm $t=3$, điểm ngoài đoạn). B đúng.
- C: $EK$: $(\frac{1}{2}-\frac{t}{2},\frac{t}{3},\frac{2t}{3})$; $OC$: $(0,0,s)$. Từ $x=0\Rightarrow t=1$, khi đó $y=\frac{1}{3}\ne 0$ → không có nghiệm chung, không song song → $EK$ và $OC$ chéo nhau, KHÔNG cắt nhau. C sai.
- D: $L\in OC,K\in BC$ nên $LK\subset (OBC)$; $OB\subset (OBC)$, hai đường không song song → cắt nhau. D đúng.
Vậy khẳng định sai là C, khớp đáp án nguồn (đề 1101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$; E là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Suy ra $\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$. Vậy $GE\parallel CD$ (vì $\frac{1}{3}\ne 1$ nên GE và CD không trùng nhau). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M,N,P,Q,R,S$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA,AC,BD$.
- Xét A: $MQ$ nối trung điểm $AB,DA$ nên $MQ\parallel BD$; $NP$ nối trung điểm $BC,CD$ nên $NP\parallel BD$; nhưng $R$ nằm trên $AC$ nên $RA$ chính là đường thẳng $AC$, không song song với $BD$. Mệnh đề A sai.
- Xét B: Dùng vectơ: $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B})$, $\overrightarrow{NQ}=\frac{1}{2}(\vec{D}+\vec{A}-\vec{B}-\vec{C})$, $\overrightarrow{RA}=\frac{1}{2}(\vec{A}-\vec{C})$. Không có quan hệ đồng quy giữa ba đường thẳng $MP,RA,NQ$ (ví dụ $RA$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ còn $NQ$ chéo với nó). Mệnh đề B sai.
- Xét C: $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{2}(\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{C})=-\overrightarrow{NQ}$, suy ra $RS\parallel NQ$, do đó hai đường thẳng $NQ$ và $RS$ song song và xác định một mặt phẳng; đường thẳng $SP$ cắt mặt phẳng này tại $S$ (thực chất $SP$ cũng nằm trong mặt phẳng đó vì ba điểm $N,Q,S,P$... xét $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}(\vec{C}-\vec{B})\parallel BC$, và mặt phẳng chứa $NQ,RS$ cũng chứa phương này). Vậy ba đường thẳng $NQ,SP,RS$ đồng phẳng. Mệnh đề C đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vì $AB\parallel CD$ với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$), không song song với $AC,BD$.

b) Đúng. Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ thì $C=B+D$, $M$ có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{d}$, trọng tâm $N$ của $ABC$: $\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{2\vec{b}}{3}\parallel AB\parallel CD$. Đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và không đi qua $D$; $SD$ cắt $(ABCD)$ tại $D$ và $SD$ không song song $MN$ (vì $S$ không thuộc $(ABCD)$). Vậy $MN$ và $SD$ chéo nhau.

c) Đúng. Vì $MN\parallel CD$, $CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$ nên $MN\parallel (SCD)$.

d) Sai. $\vec{G}=\frac{\vec{S}+\vec{A}+\vec{B}}{3}$, $\vec{N}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$ nên $\overrightarrow{NG}=\frac{\vec{S}-\vec{C}}{3}\parallel SC$. Mà $SC\subset (SAC)$, đồng thời $N\notin (SAC)$ (vì $N$ không nằm trên $AC$: $\overrightarrow{AN}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$ không cùng phương $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$). Vậy $NG\parallel (SAC)$, tức $NG$ không cắt mặt phẳng $(SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tứ diện $G=\frac{A+B+C+D}{4}$. Điểm $G_1$ trên đường thẳng $AG$ và thuộc mp$(BCD)$: viết $G_1=A+t(G-A)$, điều kiện hệ số của $A$ bằng 0 cho $t=\frac{4}{3}$, suy ra $G_1=\frac{B+C+D}{3}$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Tương tự $G_2=\frac{A+C+D}{3}$ là trọng tâm tam giác $ACD$. Khi đó $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{A-B}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, nên $G_1{G}_2\parallel AB$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta chứng minh $NP\parallel BC$ rồi dùng $EF\parallel BC$.

Xét tam giác $ABD$ với cát tuyến $EMN$ ($E\in AB$, $M\in AD$, $N\in BD$). Theo định lí Menelaus:
$$\frac{BN}{ND}\cdot \frac{DM}{MA}\cdot \frac{AE}{EB}=1.$$
Vì $E$ là trung điểm $AB$ nên $\frac{AE}{EB}=1$, suy ra $\frac{BN}{ND}=\frac{MA}{DM}$.

Xét tam giác $ACD$ với cát tuyến $FMP$ ($F\in AC$, $M\in AD$, $P\in CD$). Theo định lí Menelaus:
$$\frac{CP}{PD}\cdot \frac{DM}{MA}\cdot \frac{AF}{FC}=1.$$
Vì $F$ là trung điểm $AC$ nên $\frac{AF}{FC}=1$, suy ra $\frac{CP}{PD}=\frac{MA}{DM}$.

Do đó $\frac{BN}{ND}=\frac{CP}{PD}$, tức là $\frac{ND}{NB}=\frac{PD}{PC}$. Trong tam giác $BCD$, điểm $N$ trên $BD$ và $P$ trên $CD$ chia hai cạnh theo cùng một tỉ số nên theo định lí Ta-lét (đảo) ta có $NP\parallel BC$.

Mặt khác, trong tam giác $ABC$, $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $EF$ là đường trung bình, do đó $EF\parallel BC$.

Vì $NP\parallel BC$ và $EF\parallel BC$ nên $NP\parallel EF$ (điều phải chứng minh).

Chọn hệ vectơ cơ sở $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD},\vec{c}=\overrightarrow{AF}$ không đồng phẳng.
Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}$, $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}=\vec{c}-\vec{a}$.
Do đó: $\overrightarrow{AM}=k(\vec{a}+\vec{b})$, $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\vec{a}+k(\vec{c}-\vec{a})=(1-k)\vec{a}+k\vec{c}$.
Suy ra: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(1-2k)\vec{a}-k\vec{b}+k\vec{c}$.
Mặt khác $DE$: $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF})-\overrightarrow{AD}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$.
Để $MN\parallel DE$ thì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{DE}$:
$\frac{1-2k}{1}=\frac{-k}{-1}=\frac{k}{1}⟺1-2k=k⟺3k=1⟺k=\frac{1}{3}$. Chọn A.