Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $(\alpha )$. Giả sử $a\parallel b$ và $b\parallel (\alpha )$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số giảm?

Cho cấp số cộng $u_n$ có các số hàng đầu lần lượt là 2; 7; 12; 17;…. Tìm số hàng tổng quát $u_n$ của cấp số cộng.

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Phương trình $\cos x=\cos \frac{2\pi }{9}$ có tất cả các nghiệm là

Hình chiếu song song của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{B}^{\prime },BC$ và $CD$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một bể đựng nước được xây dưới dạng hình hộp chữ nhật như hình bên, biết rằng chiều cao bể là $1,2$ mét. Bạn Minh lấy một cây thước thẳng đủ dài cắm xuống bể sao cho đầu dưới của cây thước chạm đáy và để cây thước tựa vào mép của thành bể, có đánh dấu điểm tựa. Khi Minh rút thước lên thì đo được khoảng cách tính theo chiều dài cây thước từ chân thước đến điểm đánh dấu là $1,5$ mét và chiều dài thước bị ướt là $75cm$. Tính chiều cao của mực nước có trong bể. (Đơn vị tính theo cm)

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CD$. Gọi $E,F$ lần lượt là hai điểm thuộc đoạn $AM,AN$ sao cho $AE=3EM,AF=3FN$. Tính tỉ số $\frac{BD}{EF}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Biết ${\lim }_{n\to +\infty }\left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+5n+1}\right)=\frac{a}{b}$; trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị của biểu thức $3a-4b$.

Một khảo sát về thời gian tự học môn Toán mỗi ngày của học sinh lớp 11A thu được bảng tần số sau:



Tính mốt của mẫu số liệu trên.

Tính

a) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{1+x-5x^2}{8x^2+4x-2}$.

b) ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{\sqrt{5x-6}-3}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thap $ABCD$ với $AB\parallel CD$ và $AB=2CD=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$, $P$ là điểm trên cạnh $SB$ thỏa mãn $BP=2SP$.

a) Chứng minh $CD\parallel (SMN)$.

b) Gọi $Q$ là hình chiếu song song của điểm $P$ trên $mp(ABCD)$ theo phương $SA$. Tính $PQ$ theo $a$ biết tam giác $SAB$ là tam giác đều.

c) Xác định giao điểm $E$ của $SC$ và mặt phẳng $(ADP)$.

Cho tam giác đều $\Delta A_1{B}_1{C}_1$. Với mỗi $n\ge 1$, từ tam giác đều $\Delta A_n{B}_n{C}_n$ ta dựng tam giác tiếp theo như sau:

- Trên cạnh $A_n{B}_n$ lấy điểm $A_{n+1}$ sao cho $A_n{A}_{n+1}=\frac{1}{3}{A}_n{B}_n$

- Trên cạnh $B_n{C}_n$ lấy $B_{n+1}$ sao cho $B_n{B}_{n+1}=\frac{1}{3}{B}_n{C}_n$

- Trên cạnh $C_n{A}_n$ lấy $C_{n+1}$ sao cho $C_n{C}_{n+1}=\frac{1}{3}{C}_n{A}_n$

Ba điểm $A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$ là ba đỉnh của tam giác đều tiếp theo.

Gọi diện tích của các tam giác đó lần lượt là $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$. Biết $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ có diện tích bằng $9\sqrt{3}$. Tổng $S_1+S_2+\dots +S_n+\dots =\frac{a\sqrt{b}}{c}$ với $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản, $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $a+b+c$.