Biết ${\lim }_{n\to +\infty }\left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+5n+1}\right)=\frac{a}{b}$; trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị của biểu thức $3a-4b$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+5n+1}=\frac{(n^2+2n)-(n^2+5n+1)}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+5n+1}}=\frac{-3n-1}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+5n+1}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim =\frac{-3-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}}=-\frac{3}{2}$. Vậy $a=-3,b=2$ (phân số tối giản), nên $3a-4b=3(-3)-4(2)=-17$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.