Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{B}^{\prime },BC$ và $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB', BC, CD trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' (đáy ABCD là hình chữ nhật).
a) Sai. Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (BCC'B'). Đường thẳng A'C cắt mặt phẳng (BCC'B') tại điểm C. Mà MN đi qua N thuộc BC, N không trùng C (N là trung điểm BC), nên MN không đi qua C, do đó MN và A'C không cắt nhau (chỉ nằm chéo nhau). Vậy khẳng định 'MN cắt A'C' sai.
b) Đúng. Trong tam giác BB'C, M là trung điểm BB', N là trung điểm BC nên MN là đường trung bình, suy ra MN ∥ B'C. Vì MN ⊂ (MNP) và B'C ⊄ (MNP), theo định lí đường thẳng song song với mặt phẳng ta có B'C ∥ (MNP).
c) Đúng. Trong tam giác BCD, N, P lần lượt là trung điểm BC, CD nên NP là đường trung bình, suy ra NP ∥ BD. Mặt khác BD ∥ B'D' (tính chất hình hộp), nên NP ∥ B'D'.
d) Sai. Ta có NP ∥ BD với BD ⊂ (ABD'), tức NP ∥ (ABD'). Nếu (MNP) ∥ (ABD') thì mọi đường thẳng trong (MNP) phải song song hoặc nằm trong (ABD'). Xét MN ∥ B'C (chứng minh ở trên). Dùng hệ tọa độ A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,h), B'(1,0,h), D'(0,1,h): mặt phẳng (ABD') có vectơ pháp tuyến n = AB × AD' = (0, −h, 1), còn B'C = (0, 1, −h). Tích vô hướng n · B'C = −h − h = −2h ≠ 0, nên B'C không song song (ABD'), tức MN không song song (ABD'). Vậy hai mặt phẳng (MNP) và (ABD') cắt nhau, khẳng định sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102: 1a S, 1b Đ, 1c Đ, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
MN ⊂ (BCC'B'), A'C cắt (BCC'B') tại C, mà MN không đi qua C nên MN và A'C không cắt nhau (nằm chéo nhau).
b) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác BB'C nên MN ∥ B'C, suy ra B'C ∥ (MNP).
c) (AI giải đề cho tôi)
NP là đường trung bình tam giác BCD nên NP ∥ BD ∥ B'D'.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN ∥ B'C nhưng B'C không song song (ABD') (kiểm tra bằng tích vô hướng pháp tuyến cho −2h ≠ 0), nên (MNP) cắt (ABD'), không song song.