Cho tam giác đều $\Delta A_1{B}_1{C}_1$. Với mỗi $n\ge 1$, từ tam giác đều $\Delta A_n{B}_n{C}_n$ ta dựng tam giác tiếp theo như sau:

- Trên cạnh $A_n{B}_n$ lấy điểm $A_{n+1}$ sao cho $A_n{A}_{n+1}=\frac{1}{3}{A}_n{B}_n$

- Trên cạnh $B_n{C}_n$ lấy $B_{n+1}$ sao cho $B_n{B}_{n+1}=\frac{1}{3}{B}_n{C}_n$

- Trên cạnh $C_n{A}_n$ lấy $C_{n+1}$ sao cho $C_n{C}_{n+1}=\frac{1}{3}{C}_n{A}_n$

Ba điểm $A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$ là ba đỉnh của tam giác đều tiếp theo.

Gọi diện tích của các tam giác đó lần lượt là $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$. Biết $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ có diện tích bằng $9\sqrt{3}$. Tổng $S_1+S_2+\dots +S_n+\dots =\frac{a\sqrt{b}}{c}$ với $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản, $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $a+b+c$.