Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ là hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $(P)$ là mặt đáy dưới chứa $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ (góc ở đỉnh $D^{\prime }$ kẹp giữa cạnh $D^{\prime }{A}^{\prime }$ và mặt $(P)$). Các điểm $A^{\prime },D^{\prime },C^{\prime }$ đều thuộc mặt $(P)$, riêng điểm $A$ nằm trên mặt đáy trên nên không thuộc $(P)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SMN)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong hình bình hành $ABCD$, tâm $O$ là trung điểm của $AC$, cũng là trung điểm của $MN$ (vì $M,N$ là trung điểm $AB,CD$ nên $MN$ đi qua tâm $O$). Do đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in MN\subset (SMN)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SMN)$ là đường thẳng $SO$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $B(0;0;3)$. Khi đó trọng tâm $E$ của $BCD$ là $E(1;1;1)$, trọng tâm $A^{\prime }$ của $ACD$ là $A^{\prime }(1;1;0)$. Đường thẳng $A{A}^{\prime }$: $(t;t;0)$. Đường thẳng $BE$: $(s;s;3-2s)$. Giao điểm: $t=s$ và $3-2s=0\Rightarrow s=t=\frac{3}{2}$, nên $G\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2};0\right)$. Suy ra $GA=\frac{3}{2}\sqrt{2}$, $G{A}^{\prime }=\left|\frac{3}{2}-1\right|\sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$. Vậy $\frac{GA}{G{A}^{\prime }}=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải chi tiết:

Ta có $AE=\frac{1}{2}BE\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$ và $AF=2CF\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$. Vì $O$ nằm trong tam giác $BCD$ nên $O$ thuộc mặt phẳng $(BCD)$.

a) Xác định giao tuyến của $(OEF)$ và $(ABD)$:

- Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $K=EF\cap BC$. Vì $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}\ne \frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$ nên $EF$ không song song $BC$, do đó $K$ xác định (tọa độ: với $B,C$ làm mốc, $K=-\frac{1}{3}B+\frac{4}{3}C$, tức $K$ nằm ngoài đoạn $BC$, phía sau $C$ với $CK=\frac{1}{3}BC$).
- Ta có $K\in EF\subset (OEF)$ và $K\in BC\subset (BCD)$, nên $(OEF)\cap (BCD)=OK$.
- Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $I=OK\cap BD$ (do $K$ nằm ngoài tam giác $BCD$ và $O$ nằm trong tam giác nên đường thẳng $OK$ cắt cạnh $BD$ tại $I$ thuộc đoạn $BD$).
- Khi đó $I\in BD\subset (ABD)$ và $I\in (OEF)$; lại có $E\in AB\subset (ABD)$ và $E\in (OEF)$.

Vậy giao tuyến của $(OEF)$ và $(ABD)$ là đường thẳng $EI$.

b) Xác định giao điểm của $AD$ và $(OEF)$:

- Vì $AD\subset (ABD)$ nên $AD\cap (OEF)=AD\cap EI$ (giao của hai đường thẳng trong mặt phẳng $(ABD)$).
- Trong mặt phẳng $(ABD)$: $E$ nằm trong đoạn $AB$, $I$ nằm trong đoạn $BD$, nên đường thẳng $EI$ cắt đường thẳng $AD$ tại một điểm $P$ xác định (trường hợp riêng $EI\parallel AD$ thì không có giao điểm, nhưng với vị trí điểm $O$ tùy ý trong tam giác $BCD$, nói chung $P$ tồn tại).
- Khi đó $P\in AD$ và $P\in EI\subset (OEF)$.

Vậy giao điểm của $AD$ và $(OEF)$ là $P=AD\cap EI$ (nếu $EI$ không song song với $AD$; khi $EI\parallel AD$ thì $AD$ song song với mặt phẳng $(OEF)$ và không có giao điểm).

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $M\in SB\subset (SBC)$ và $M\in (MNP)$; $N\in BC\subset (SBC)$ và $N\in (MNP)$. Vậy hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(MNP)$ có chung hai điểm phân biệt $M,N$, suy ra giao tuyến của chúng là đường thẳng $MN$.

b) Trong tam giác $SBC$, $M$ là trung điểm $SB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN\parallel SC$. Vì $SC\not\subset (MNP)$ và $SC\parallel MN\subset (MNP)$ nên $SC\parallel (MNP)$.

Xét mặt phẳng $(SCD)$: mặt phẳng $(SCD)$ chứa đường thẳng $SC\parallel (MNP)$ và chứa điểm $P\in (MNP)$, nên giao tuyến của $(SCD)$ và $(MNP)$ là đường thẳng $d$ đi qua $P$ và $d\parallel SC$. Đường thẳng $SD\subset (SCD)$ cắt $(MNP)$ tại $Q$, mà $Q\in d$ nên $PQ\parallel SC$.

Trong tam giác $SCD$, $P$ là trung điểm $CD$ và $PQ\parallel SC$ nên theo định lý đường trung bình (đảo), $Q$ là trung điểm của $SD$.

Xét tam giác $SBD$: $M$ là trung điểm $SB$, $Q$ là trung điểm $SD$, nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $SBD$. Vậy $MQ\parallel BD$ (điều phải chứng minh).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp $S.ABCD$, điểm $A$ thuộc mặt đáy $(ABCD)$, tức $A\in BCD$ (vì $B,C,D$ không thẳng hàng nên mặt phẳng $(BCD)$ chính là mặt phẳng đáy $(ABCD)$, chứa $A$). Các mặt phẳng $(SBC)$, $(SBD)$, $(SCD)$ là các mặt bên, không chứa $A$ (vì $S.ABCD$ là hình chóp, $A$ không thuộc các mặt bên đó). Vậy khẳng định đúng là $A\in BCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SHD)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt đáy, $HD$ cắt $AC$ tại $I$ (do $AD\parallel BC$, đường thẳng $HD$ không song song với $AC$). Khi đó $I\in HD\subset (SHD)$ và $I\in AC\subset (SAC)$, nên $I$ là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến của $(SHD)$ và $(SAC)$ là $SI$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $K$ là trung điểm $BD$ nên $K\in (ABD)$; cũng $K\in (IJK)$. Vậy $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng. Trong tam giác $ABC$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $AC,BC$ nên $IJ\parallel AB$. Vì $AB\subset (ABD)$ và $IJ\not\subset (ABD)$ nên $IJ\parallel (ABD)$. Giao tuyến $d=(IJK)\cap (ABD)$ đi qua $K$ và song song với $IJ$, do đó $d$ đi qua $K$ và song song với $AB$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF$ nằm trong $(ABCD)$. b) Đúng: hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ cùng chứa điểm $A$, $B$ nên giao tuyến là $AB$. c) Sai: $(SAB)$ chứa $AB$, $(SCD)$ chứa $CD$, mà $AB\cap CD=E$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (không phải $SF$); tương tự $(SAC)$ chứa $AC$, $(SBD)$ chứa $BD$, $AC\cap BD=F$ nên giao tuyến là $SF$ (không phải $SE$). Đề phát biểu hoán đổi nên sai. d) Đúng: $(SEF)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$; trong mặt đáy, $E,F\in (SEF)\cap (ABCD)$ nên $EF$ là giao tuyến của $(SEF)$ và $(ABCD)$; $G=EF\cap AD$ với $AD\subset (SAD)$ nên $G\in (SAD)$ và $G\in (SEF)$. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $S,G$ nên giao tuyến là $SG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $EF$ nằm trong $(ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (vì $AB\cap CD=E$), giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (vì $AC\cap BD=F$); đề phát biểu ngược nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=EF\cap AD$ thuộc cả $(SEF)$ lẫn $(SAD)$, hai mặt phẳng còn chung $S$, nên giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II):
a) Đúng. $I\in (IBC)$ (vì mặt phẳng $(IBC)$ chứa $I$) và $I\in AD\subset (JAD)$; $J\in BC\subset (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Vậy $I,J$ là hai điểm chung phân biệt của $(IBC)$ và $(JAD)$, suy ra $IJ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng này.
b) Đúng. $N,D$ đều thuộc $(MND)$ và đều thuộc $(ADC)$ (do $N\in AC\subset (ADC)$, $D\in (ADC)$). Hai điểm chung phân biệt nên $ND$ là giao tuyến của $(MND)$ và $(ADC)$.
c) Đúng. $B,I$ đều thuộc $(BCI)$ và đều thuộc $(ABD)$ (do $I\in AD\subset (ABD)$). Vậy $BI$ là giao tuyến của $(BCI)$ và $(ABD)$.
d) Sai. Vì $M,N$ là các điểm tùy ý trên $AB,AC$ (đề không nói chúng là trung điểm), không được suy ra $MN\parallel BC$. Xét $(IBC)$ và $(DMN)$: trong mặt phẳng $(ABC)$, $MN$ cắt $BC$ tại $P$ (nói chung), nên $P$ là điểm chung thứ nhất; trong mặt phẳng $(ABD)$, $(DMN)\cap (ABD)=DM$ và $(IBC)\cap (ABD)=BI$, hai đường thẳng $DM,BI$ nằm trong tam giác $ABD$ nên cắt nhau tại $Q=DM\cap BI$, là điểm chung thứ hai. Giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN)$ là đường thẳng $PQ$, và nói chung $PQ$ không song song với $IJ$. Ví dụ: khi $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$ thì $MN\parallel BC$, giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN)$ song song với $BC$, trong khi $IJ$ (nối trung điểm của $AD$ và $BC$ trong tứ diện) không song song với $BC$. Vậy mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$I\in (IBC)$ và $I\in AD\subset (JAD)$; $J\in BC\subset (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Hai điểm chung phân biệt nên $IJ$ là giao tuyến của $(IBC)$ và $(JAD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N,D$ là hai điểm chung phân biệt của $(MND)$ và $(ADC)$ (do $N\in AC$), nên $ND$ là giao tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B,I$ là hai điểm chung phân biệt của $(BCI)$ và $(ABD)$ (do $I\in AD$), nên $BI$ là giao tuyến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M,N$ tùy ý trên $AB,AC$ nên không suy ra $MN\parallel BC$. Giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN)$ là đường thẳng qua $P=MN\cap BC$ và $Q=DM\cap BI$, nói chung không song song với $IJ$. Ví dụ khi $M,N$ là trung điểm thì giao tuyến song song $BC$, còn $IJ$ không song song $BC$. Vậy mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$, $E=AB\cap CD$, $F=AD\cap BC$ (các điểm này tồn tại trong mặt phẳng đáy vì các cặp cạnh đối của tứ giác $ABCD$ không song song).

a) Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Ta có $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$ và $AC\cap BD=O$ nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SO$.

b) $(SAC)$ và $(MBD)$: điểm $M\in SA\subset (SAC)$ và $M\in (MBD)$ nên $M$ chung. Trong mặt đáy, $BD\subset (MBD)$, $BD\cap AC=O$ với $O\in (SAC)$, nên $O$ cũng chung. Vậy giao tuyến là $MO$.

c) $(MBC)$ và $(SAD)$: $M\in SA\subset (SAD)$ và $M\in (MBC)$ nên $M$ chung. Trong mặt đáy, $BC\subset (MBC)$, $AD\subset (SAD)$, $BC\cap AD=F$ nên $F$ chung. Vậy giao tuyến là $MF$.

d) $(SAB)$ và $(SCD)$: cả hai đều chứa $S$. Trong mặt đáy, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, $AB\cap CD=E$ nên $E$ chung. Vậy giao tuyến là $SE$.

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Ngoài ra, $M=AC\cap BD$ nên $M\in AC\subset (SAC)$ và $M\in BD\subset (SBD)$. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua hai điểm chung $S$ và $M$, tức là đường thẳng $SM$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. O là trung điểm BD, E là trung điểm AB nên OE là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra OE // AD. Vì OE không nằm trong (SAD) còn AD ⊂ (SAD), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có OE // (SAD).

b) Sai. Trong mặt phẳng (ABCD) có AB // CD, với AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD). Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d qua S và song song với AB (đồng thời song song với CD), không song song với AC (vì AC không song song với AB).

c) Đúng. M ∈ SA nên M thuộc mặt phẳng (SAC); do đó CM ⊂ (SAC). Trong mặt phẳng (SAC), đường thẳng CM cắt đường thẳng SO tại một điểm I (CM không song song SO vì C, M, S, O trong một mặt phẳng với C, O thuộc BD, M thuộc SA). Vì SO ⊂ (SBD) nên I ∈ (SBD), tức I là giao điểm của CM và (SBD), và I thuộc đường thẳng SO.

d) Đúng. E là trung điểm AB, O là trung điểm BD nên EO // AD. Mặt phẳng (MEO) chứa đường thẳng EO // AD, mà AD ⊂ (SAD), M ∈ SA ⊂ (SAD). Giao tuyến của (MEO) và (SAD) là đường thẳng qua M và song song với EO, do đó song song với AD.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề về mặt phẳng, hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất. A sai vì bốn điểm phân biệt không xác định duy nhất một mặt phẳng; B sai vì ba điểm phân biệt phải thẳng hàng mới không xác định mặt phẳng (ba điểm phân biệt bất kỳ có thể thẳng hàng); C sai vì một điểm và một đường thẳng chỉ xác định mặt phẳng khi điểm không nằm trên đường thẳng. Do đó đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề mặt phẳng: ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. Vậy chỉ có 1 mặt phẳng đi qua 3 điểm đó.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Ngoài ra, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$, do đó giao tuyến là đường thẳng $SO$. Lưu ý giao tuyến là đường thẳng, không phải đoạn thẳng hay điểm, nên loại B, C; $SA$ chỉ nằm trong $(SAC)$, không nằm trong $(SBD)$, nên loại A.

(AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$. Khi đó $E\in AB$ và $G\in BF$, suy ra đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt phẳng $(ABF)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $AF$ (vì $A$ chung, $F\in CD\subset (ACD)$ và $F\in (ABF)$). Do đó giao điểm của $EG$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AF$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: a) Đúng - $E$, $F$ đều thuộc mặt phẳng đáy nên $EF\subset (ABCD)$. b) Đúng - $(SAB)$ và $(ABCD)$ cùng chứa $A$, $B$ nên giao tuyến là $AB$. c) Sai - $(SAB)$ và $(SCD)$ cùng chứa $S$, $AB\cap CD=E$ nên giao tuyến là $SE$ (không phải $SF$); tương tự $(SAC)\cap (SBD)$ có giao tuyến $SF$ (không phải $SE$). d) Đúng - $(SEF)$ chứa $E$, $F$; $(SAD)$ chứa $A$, $D$; $G=EF\cap AD$ thuộc cả hai mặt phẳng, $S$ chung, nên giao tuyến là $SG$.

a) (AI giải đề cho tôi)
$E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF$ nằm trong $(ABCD)$.

b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ đều chứa $A$ và $B$, nên giao tuyến là đường thẳng $AB$.

c) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SCD)$ cùng chứa $S$; $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, $AB\cap CD=E$ nên giao tuyến là $SE$, không phải $SF$. Tương tự $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$, $AC\cap BD=F$ nên giao tuyến là $SF$, không phải $SE$.

d) (AI giải đề cho tôi)
$(SEF)$ chứa $E$, $F$; $(SAD)$ chứa $A$, $D$. Vì $E$, $F$, $A$, $D$ cùng thuộc mặt phẳng đáy nên $G=EF\cap AD$ thuộc cả $(SEF)$ và $(SAD)$; $S$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(ABC)$ đều chứa đường thẳng $AC$ (vì $A,C$ thuộc cả hai mặt phẳng), nên giao tuyến của chúng là $AC$ chứ không phải $SO$.
b) Đúng: $(SAC)$ chứa $S,A,C$ nên chứa $O=AC\cap BD$; $(SBD)$ chứa $S,B,D$ nên cũng chứa $O$. Hai mặt phẳng có điểm chung $S$ và $O$ ($S\ne O$ vì $S$ không thuộc $(ABCD)$), do đó giao tuyến là $SO$.
c) Đúng: $K=AM\cap SO$ nên $K\in AM\subset (ABM)$ và $K\in SO$. Mặt khác $SO$ không nằm trong $(ABM)$ (vì $S\notin (ABM)$), nên giao điểm của $SO$ với $(ABM)$ là duy nhất và chính là $K$.
d) Sai: Xét hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SBD)$: chúng có điểm chung $B$, và $K\in (ABM)\cap (SBD)$ (vì $K\in SO\subset (SBD)$). Do đó giao tuyến của $(ABM)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $BK$. Giao điểm $N=SD\cap (ABM)$ phải thuộc $BK$, nói chung $N$ không thuộc đường thẳng $AK$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. a) Đúng: trong hình bình hành, $AB\parallel CD$. b) Đúng: $SA$ và $SC$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ và cắt nhau tại $S$. c) Đúng: vì $AD\parallel BC$ (tính chất hình bình hành), $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$. d) Đúng: $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, $SC$ chỉ gặp mặt phẳng này tại $C$, $C\notin AB$, và $AB$ không song song $SC$ (vì $AB\parallel CD$, $SC$ cắt $CD$ tại $C$), nên $SC$ và $AB$ chéo nhau.
a) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA$ và $SC$ nằm chung mặt phẳng $(SAC)$ và cắt nhau tại $S$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AD\parallel BC$, $BC\subset (SBC)$, $AD\not\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB\parallel CD$, $SC$ cắt $CD$ tại $C\notin AB$ nên $SC$ và $AB$ không song song, không cắt nhau: chúng chéo nhau.