Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải chi tiết:

Ta có $AE=\frac{1}{2}BE\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$ và $AF=2CF\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$. Vì $O$ nằm trong tam giác $BCD$ nên $O$ thuộc mặt phẳng $(BCD)$.

a) Xác định giao tuyến của $(OEF)$ và $(ABD)$:

- Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $K=EF\cap BC$. Vì $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}\ne \frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$ nên $EF$ không song song $BC$, do đó $K$ xác định (tọa độ: với $B,C$ làm mốc, $K=-\frac{1}{3}B+\frac{4}{3}C$, tức $K$ nằm ngoài đoạn $BC$, phía sau $C$ với $CK=\frac{1}{3}BC$).
- Ta có $K\in EF\subset (OEF)$ và $K\in BC\subset (BCD)$, nên $(OEF)\cap (BCD)=OK$.
- Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $I=OK\cap BD$ (do $K$ nằm ngoài tam giác $BCD$ và $O$ nằm trong tam giác nên đường thẳng $OK$ cắt cạnh $BD$ tại $I$ thuộc đoạn $BD$).
- Khi đó $I\in BD\subset (ABD)$ và $I\in (OEF)$; lại có $E\in AB\subset (ABD)$ và $E\in (OEF)$.

Vậy giao tuyến của $(OEF)$ và $(ABD)$ là đường thẳng $EI$.

b) Xác định giao điểm của $AD$ và $(OEF)$:

- Vì $AD\subset (ABD)$ nên $AD\cap (OEF)=AD\cap EI$ (giao của hai đường thẳng trong mặt phẳng $(ABD)$).
- Trong mặt phẳng $(ABD)$: $E$ nằm trong đoạn $AB$, $I$ nằm trong đoạn $BD$, nên đường thẳng $EI$ cắt đường thẳng $AD$ tại một điểm $P$ xác định (trường hợp riêng $EI\parallel AD$ thì không có giao điểm, nhưng với vị trí điểm $O$ tùy ý trong tam giác $BCD$, nói chung $P$ tồn tại).
- Khi đó $P\in AD$ và $P\in EI\subset (OEF)$.

Vậy giao điểm của $AD$ và $(OEF)$ là $P=AD\cap EI$ (nếu $EI$ không song song với $AD$; khi $EI\parallel AD$ thì $AD$ song song với mặt phẳng $(OEF)$ và không có giao điểm).

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $M\in SB\subset (SBC)$ và $M\in (MNP)$; $N\in BC\subset (SBC)$ và $N\in (MNP)$. Vậy hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(MNP)$ có chung hai điểm phân biệt $M,N$, suy ra giao tuyến của chúng là đường thẳng $MN$.

b) Trong tam giác $SBC$, $M$ là trung điểm $SB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN\parallel SC$. Vì $SC\not\subset (MNP)$ và $SC\parallel MN\subset (MNP)$ nên $SC\parallel (MNP)$.

Xét mặt phẳng $(SCD)$: mặt phẳng $(SCD)$ chứa đường thẳng $SC\parallel (MNP)$ và chứa điểm $P\in (MNP)$, nên giao tuyến của $(SCD)$ và $(MNP)$ là đường thẳng $d$ đi qua $P$ và $d\parallel SC$. Đường thẳng $SD\subset (SCD)$ cắt $(MNP)$ tại $Q$, mà $Q\in d$ nên $PQ\parallel SC$.

Trong tam giác $SCD$, $P$ là trung điểm $CD$ và $PQ\parallel SC$ nên theo định lý đường trung bình (đảo), $Q$ là trung điểm của $SD$.

Xét tam giác $SBD$: $M$ là trung điểm $SB$, $Q$ là trung điểm $SD$, nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $SBD$. Vậy $MQ\parallel BD$ (điều phải chứng minh).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SHD)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt đáy, $HD$ cắt $AC$ tại $I$ (do $AD\parallel BC$, đường thẳng $HD$ không song song với $AC$). Khi đó $I\in HD\subset (SHD)$ và $I\in AC\subset (SAC)$, nên $I$ là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến của $(SHD)$ và $(SAC)$ là $SI$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II):
a) Đúng. $I\in (IBC)$ (vì mặt phẳng $(IBC)$ chứa $I$) và $I\in AD\subset (JAD)$; $J\in BC\subset (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Vậy $I,J$ là hai điểm chung phân biệt của $(IBC)$ và $(JAD)$, suy ra $IJ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng này.
b) Đúng. $N,D$ đều thuộc $(MND)$ và đều thuộc $(ADC)$ (do $N\in AC\subset (ADC)$, $D\in (ADC)$). Hai điểm chung phân biệt nên $ND$ là giao tuyến của $(MND)$ và $(ADC)$.
c) Đúng. $B,I$ đều thuộc $(BCI)$ và đều thuộc $(ABD)$ (do $I\in AD\subset (ABD)$). Vậy $BI$ là giao tuyến của $(BCI)$ và $(ABD)$.
d) Sai. Vì $M,N$ là các điểm tùy ý trên $AB,AC$ (đề không nói chúng là trung điểm), không được suy ra $MN\parallel BC$. Xét $(IBC)$ và $(DMN)$: trong mặt phẳng $(ABC)$, $MN$ cắt $BC$ tại $P$ (nói chung), nên $P$ là điểm chung thứ nhất; trong mặt phẳng $(ABD)$, $(DMN)\cap (ABD)=DM$ và $(IBC)\cap (ABD)=BI$, hai đường thẳng $DM,BI$ nằm trong tam giác $ABD$ nên cắt nhau tại $Q=DM\cap BI$, là điểm chung thứ hai. Giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN)$ là đường thẳng $PQ$, và nói chung $PQ$ không song song với $IJ$. Ví dụ: khi $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$ thì $MN\parallel BC$, giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN)$ song song với $BC$, trong khi $IJ$ (nối trung điểm của $AD$ và $BC$ trong tứ diện) không song song với $BC$. Vậy mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$I\in (IBC)$ và $I\in AD\subset (JAD)$; $J\in BC\subset (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Hai điểm chung phân biệt nên $IJ$ là giao tuyến của $(IBC)$ và $(JAD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N,D$ là hai điểm chung phân biệt của $(MND)$ và $(ADC)$ (do $N\in AC$), nên $ND$ là giao tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B,I$ là hai điểm chung phân biệt của $(BCI)$ và $(ABD)$ (do $I\in AD$), nên $BI$ là giao tuyến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M,N$ tùy ý trên $AB,AC$ nên không suy ra $MN\parallel BC$. Giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN)$ là đường thẳng qua $P=MN\cap BC$ và $Q=DM\cap BI$, nói chung không song song với $IJ$. Ví dụ khi $M,N$ là trung điểm thì giao tuyến song song $BC$, còn $IJ$ không song song $BC$. Vậy mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$, $E=AB\cap CD$, $F=AD\cap BC$ (các điểm này tồn tại trong mặt phẳng đáy vì các cặp cạnh đối của tứ giác $ABCD$ không song song).

a) Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Ta có $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$ và $AC\cap BD=O$ nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SO$.

b) $(SAC)$ và $(MBD)$: điểm $M\in SA\subset (SAC)$ và $M\in (MBD)$ nên $M$ chung. Trong mặt đáy, $BD\subset (MBD)$, $BD\cap AC=O$ với $O\in (SAC)$, nên $O$ cũng chung. Vậy giao tuyến là $MO$.

c) $(MBC)$ và $(SAD)$: $M\in SA\subset (SAD)$ và $M\in (MBC)$ nên $M$ chung. Trong mặt đáy, $BC\subset (MBC)$, $AD\subset (SAD)$, $BC\cap AD=F$ nên $F$ chung. Vậy giao tuyến là $MF$.

d) $(SAB)$ và $(SCD)$: cả hai đều chứa $S$. Trong mặt đáy, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, $AB\cap CD=E$ nên $E$ chung. Vậy giao tuyến là $SE$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. O là trung điểm BD, E là trung điểm AB nên OE là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra OE // AD. Vì OE không nằm trong (SAD) còn AD ⊂ (SAD), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có OE // (SAD).

b) Sai. Trong mặt phẳng (ABCD) có AB // CD, với AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD). Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d qua S và song song với AB (đồng thời song song với CD), không song song với AC (vì AC không song song với AB).

c) Đúng. M ∈ SA nên M thuộc mặt phẳng (SAC); do đó CM ⊂ (SAC). Trong mặt phẳng (SAC), đường thẳng CM cắt đường thẳng SO tại một điểm I (CM không song song SO vì C, M, S, O trong một mặt phẳng với C, O thuộc BD, M thuộc SA). Vì SO ⊂ (SBD) nên I ∈ (SBD), tức I là giao điểm của CM và (SBD), và I thuộc đường thẳng SO.

d) Đúng. E là trung điểm AB, O là trung điểm BD nên EO // AD. Mặt phẳng (MEO) chứa đường thẳng EO // AD, mà AD ⊂ (SAD), M ∈ SA ⊂ (SAD). Giao tuyến của (MEO) và (SAD) là đường thẳng qua M và song song với EO, do đó song song với AD.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(ABC)$ đều chứa đường thẳng $AC$ (vì $A,C$ thuộc cả hai mặt phẳng), nên giao tuyến của chúng là $AC$ chứ không phải $SO$.
b) Đúng: $(SAC)$ chứa $S,A,C$ nên chứa $O=AC\cap BD$; $(SBD)$ chứa $S,B,D$ nên cũng chứa $O$. Hai mặt phẳng có điểm chung $S$ và $O$ ($S\ne O$ vì $S$ không thuộc $(ABCD)$), do đó giao tuyến là $SO$.
c) Đúng: $K=AM\cap SO$ nên $K\in AM\subset (ABM)$ và $K\in SO$. Mặt khác $SO$ không nằm trong $(ABM)$ (vì $S\notin (ABM)$), nên giao điểm của $SO$ với $(ABM)$ là duy nhất và chính là $K$.
d) Sai: Xét hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SBD)$: chúng có điểm chung $B$, và $K\in (ABM)\cap (SBD)$ (vì $K\in SO\subset (SBD)$). Do đó giao tuyến của $(ABM)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $BK$. Giao điểm $N=SD\cap (ABM)$ phải thuộc $BK$, nói chung $N$ không thuộc đường thẳng $AK$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$; hai mặt phẳng chung điểm $S$ và $O$ nên giao tuyến là $SO$.

b) Sai. Đặt $S$ làm gốc, $\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SD}=\mathbf{d},\overrightarrow{SA}=\mathbf{a}$; vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SC}=\mathbf{b}+\mathbf{d}-\mathbf{a}$, và $K$ có tọa độ $\mathbf{d}/2$. Điểm $P=t\mathbf{a}$ trên $SA$ thuộc $(KBC)$ khi $t\mathbf{a}-\mathbf{d}/2=\alpha (\mathbf{b}-\mathbf{d}/2)+\beta (\mathbf{b}+\mathbf{d}/2-\mathbf{a})$; so sánh hệ số giải ra $t=1/2$. Vậy $J$ là trung điểm của $SA$. Khi đó $KJ$ là đường trung bình của tam giác $SDA$ nên $KJ\parallel DA$ (tức $KJ\parallel BC$), không song song với $DC$. Khẳng định b) sai.

c) Đúng. $O$ là trung điểm $AC$ nên $C\in (AO)\subset (OIA)$, đồng thời $C\in (SCD)$. Với hệ vectơ trên, $\overrightarrow{AO}=(\mathbf{b}+\mathbf{d})/2-\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AI}=\mathbf{b}/2-\mathbf{a}$; ta có $\mathbf{d}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{AI}$, tức phương $\overrightarrow{SD}$ nằm trong mặt phẳng $(OIA)$. Do đó đường thẳng qua $C$ song song với $SD$ nằm trong cả $(OIA)$ lẫn $(SCD)$, chính là giao tuyến. Đúng.

d) Đúng. $I$ là trung điểm $SB$, $J$ là trung điểm $SA$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $IJ\parallel AB$; mà $AB\parallel CD$ (hình bình hành) nên $CD\parallel IJ$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$, chung với $S$ nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Dùng tọa độ vectơ với gốc $S$: $J$ là trung điểm $SA$ ($t=1/2$), nên $KJ$ là đường trung bình tam giác $SDA$, tức $KJ\parallel DA$, không song song với $DC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $C\in (OIA)$ vì $O$ là trung điểm $AC$; mặt phẳng $(OIA)$ chứa phương $\overrightarrow{SD}$ vì $\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{AI}$, nên giao tuyến là đường thẳng qua $C$ song song với $SD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $IJ$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $IJ\parallel AB\parallel CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $S$: đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$, suy ra $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{d}$.

Ta có $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}\vec{c}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{b}$. Gọi $\overrightarrow{SQ}=t\vec{d}$. Vì $Q\in (MNP)$ nên tồn tại $\alpha ,\beta ,\gamma$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$ sao cho:
$$t\vec{d}=\alpha \cdot \frac{\vec{a}}{2}+\beta \cdot \frac{\vec{c}}{2}+\gamma \cdot \frac{2}{3}(\vec{a}+\vec{c}-\vec{d}).$$
So sánh hệ số theo $\vec{a},\vec{c},\vec{d}$ (độc lập): hệ số của $\vec{a}$ và $\vec{c}$ phải bằng 0 nên $\alpha =\beta =-\frac{4\gamma }{3}$; hệ số của $\vec{d}$: $t=-\frac{2\gamma }{3}$. Từ $\alpha +\beta +\gamma =1$: $-\frac{8\gamma }{3}+\gamma =1\Rightarrow \gamma =-\frac{3}{5}$, suy ra $t=\frac{2}{5}$.

Vậy $\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{5}$, tức $a=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;1)$. Khi đó $M(0;0;\frac{1}{2})$, $I(\frac{1}{2};1;0)$.

a) Hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$. Trong mặt phẳng đáy, gọi $K=BI\cap AC$. Vì $BI\subset (SBI)$, $K\in AC\subset (SAC)$ nên $K\in (SBI)\cap (SAC)$. Tính tọa độ: đường $BI$ qua $B(1;0)$ và $I(\frac{1}{2};1)$ có phương trình, giao với $AC$ ($y=x$) tại $K(\frac{2}{3};\frac{2}{3})$. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SK$.

b) Mặt phẳng $(MBI)$ qua $M(0;0;\frac{1}{2})$, $B(1;0;0)$, $I(\frac{1}{2};1;0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MB}\times \overrightarrow{MI}=(\frac{1}{2};\frac{1}{4};1)$, phương trình: $\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y+z=\frac{1}{2}$. Đường $SD$: $(x;y;z)=(0;t;1-t)$. Thay vào: $\frac{t}{4}+1-t=\frac{1}{2}⟹-\frac{3t}{4}=-\frac{1}{2}⟹t=\frac{2}{3}$. Vậy $E(0;\frac{2}{3};\frac{1}{3})$.

c) Vì $E=S+\frac{2}{3}(D-S)$ nên $SE=\frac{2}{3}SD$, $ED=\frac{1}{3}SD$, do đó $\frac{SE}{ED}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và $O$ (vì $O\in AC$, $O\in BD$), nên giao tuyến là $SO$.
b) Đúng. $BD$ cắt $AC$ tại $O$ và $O\in (SAC)$, nên giao điểm của $BD$ với $(SAC)$ là $O$.
c) Đúng. Trong tam giác $SAC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AC$ và $MN$ cắt trung tuyến $SO$ tại trung điểm của $SO$. Mặt khác $MN\subset (SAC)$ và giao tuyến $(SAC)\cap (SBD)=SO$, nên giao điểm của $MN$ với $(SBD)$ là giao điểm của $MN$ với $SO$, tức trung điểm của $SO$.
d) Sai. $(SBC)$ và $(MCD)$ có điểm chung $C$, nhưng $S\notin (MCD)$ nên $SC$ không nằm trong $(MCD)$, do đó $SC$ không phải giao tuyến. Giao tuyến đi qua $C$ và điểm giao thứ hai, cụ thể gọi $E=SB\cap CM$, giao tuyến là $CE$, không phải $SC$.

Hướng dẫn chấm:
a) Chứng minh : $MO//SC$ (1 điểm)

- Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của AC. (0,25)
- Xét $\Delta ASC$ có $\{\begin{array}{l}MA=MS\\ OA=OC\end{array}$ nên $OM$ là đường trung bình của $\Delta ASC$, suy ra $OM//SC$ (0,5)
- KL và vẽ đúng hình nét đứt, nét liền (0,25)

b) Tìm giao điểm $K$ của $SD$ và $(MBC)$. (0,5 điểm)
- Chọn $(SAD)$ chứa $SD$, tìm giao tuyến của $(SAD)$ và $(MBC)$
- Ta có: $\{\begin{array}{l}M\in (SAD)\cap (MBC)\\ AD//BC\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}My=(SAD)\cap (MBC)\\ My//AD//BC\end{array}$ (0,25)
- Trong $(SAD)$, gọi $K=My\cap SD$
- Với $\{\begin{array}{l}K\in SD\\ K\in My\subset (MBC)\Rightarrow K\in (MBC)\end{array}\Rightarrow K=SD\cap (MBC)$, KL (0,25)

Hướng dẫn chấm:
a) Chứng minh : $MO//SC$ (1 điểm)

- Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của AC. (0,25)
- Xét $\Delta ASC$ có $\{\begin{array}{l}MA=MS\\ OA=OC\end{array}$ nên $OM$ là đường trung bình của $\Delta ASC$, suy ra $OM//SC$ (0,5)
- KL và vẽ đúng hình nét đứt, nét liền (0,25)

b) Tìm giao điểm $K$ của $SD$ và $(MBC)$. (0,5 điểm)
- Chọn $(SAD)$ chứa $SD$, tìm giao tuyến của $(SAD)$ và $(MBC)$
- Ta có: $\{\begin{array}{l}M\in (SAD)\cap (MBC)\\ AD//BC\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}My=(SAD)\cap (MBC)\\ My//AD//BC\end{array}$ (0,25)
- Trong $(SAD)$, gọi $K=My\cap SD$
- Với $\{\begin{array}{l}K\in SD\\ K\in My\subset (MBC)\Rightarrow K\in (MBC)\end{array}\Rightarrow K=SD\cap (MBC)$, KL (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SB$, $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, do đó $MN\parallel BC$. Mà $E$ là trung điểm $BC$ nên $E\in MN$. Đồng thời $E\in (SAE)$. Vậy giao điểm $I$ của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAE)$ chính là $E$. Suy ra $\frac{IM}{IN}=\frac{EM}{EN}=1$ vì $E$ là trung điểm của $MN$ (do $MN\parallel BC$ và $M$, $N$ là trung điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là giao điểm của $MP$ với $AD$ (cùng thuộc mặt phẳng $(ABD)$). Vì $M$ là trung điểm $AB$ và $P$ thuộc $BD$ với $PD=\frac{1}{3}BD$ (tức $BP=\frac{2}{3}BD$), trong $(ABD)$ đường thẳng $MP$ cắt đường thẳng $AD$ tại $K$ sao cho $AK=2AD$ ($K$ nằm ngoài đoạn $AD$, phía $D$). Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=0$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$ thì $M=\frac{\vec{b}}{2}$, $P=\frac{\vec{b}+2\vec{d}}{3}$; phương trình $M+t(P-M)=s\vec{d}$ cho $t=3$, $s=2$, tức $K=2\vec{d}$ nên $AK=2AD$.

a) Vì $M,P\in (MNP)$ nên $K\in (MNP)$; cũng $K\in (ACD)$. Trong mặt phẳng $(ACD)$, $N\in AC$ với $AN=\frac{2}{3}AC$ và $K\in$ đường thẳng $AD$ với $AK=2AD$, nên đường thẳng $NK$ cắt đường thẳng $CD$ tại $L$. Tọa độ: $N=\frac{2}{3}\vec{c}$, $K=2\vec{d}$; điểm trên $NK$: $\frac{2}{3}(1-u)\vec{c}+2u\vec{d}$. Điều kiện thuộc $CD$: $2u=1-\frac{2}{3}(1-u)$ cho $u=\frac{1}{4}$, suy ra $L=\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}$, tức $L$ là trung điểm của $CD$. Vì $N,K\in (MNP)$ nên $L\in (MNP)$; mà $L\in (BCD)$, $P\in (BCD)\cap (MNP)$, vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $PL$.

b) $Q$ là giao điểm của $CD$ với $(MNP)$ chính là $L$. Vì $L$ là trung điểm $CD$ nên $\frac{QC}{QD}=\frac{LC}{LD}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M\in SA\subset (SAB)$ và $M\in (MCD)$ nên $M$ thuộc giao tuyến. Vì $N=AB\cap CD$ với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (MCD)$ nên $N$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(MCD)$ và $(SAB)$ là đường thẳng $MN$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) I ∈ BC ⊂ (SBC) nhưng K ∈ CD nên K ∉ (SBC). Do đó đường thẳng IK (nằm trong mặt đáy) không nằm trong (SBC) → Sai.
b) Vì ABCD là hình bình hành nên AD ∥ BC. Ta có BC ⊂ (SBC), AD ⊂ (SAD), AD ∥ (SBC). Theo tính chất giao tuyến song song, giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và song song với AD → Đúng.
c) Trong tam giác SBC, M trung điểm SB, I trung điểm BC nên MI là đường trung bình, suy ra MI ∥ SC. Vì SC ⊂ (SCD) và MI ⊄ (SCD) nên MI ∥ (SCD). Vậy MI không cắt (SCD), không tồn tại giao điểm nằm trên SO → Sai.
d) Vì AD ∥ BC nên BC ∥ (SAD). Trong mặt phẳng (SBC), đường thẳng CM cắt (SAD) tại N. Kiểm tra bằng tọa độ: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(s₁,s₂,h), M = ((s₁+1)/2, s₂/2, h/2). Mặt phẳng (SAD): h·x − s₁·z = 0; điểm trên CM dạng C + t(M−C), thay vào được t = 2, nên N = (s₁, s₂−1, h). Suy ra vectơ SN = (0, −1, 0) cùng phương với BC = (0,1,0). Vì BC ⊂ (SBC), S ∈ (SBC), N ∉ (SBC) nên SN ∥ (SBC) → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
K ∈ CD nên K ∉ (SBC); do đó đường thẳng IK không nằm trong (SBC).
b) (AI giải đề cho tôi)
AD ∥ BC, BC ⊂ (SBC), AD ⊂ (SAD) nên giao tuyến là đường thẳng qua S song song AD.
c) (AI giải đề cho tôi)
MI là đường trung bình tam giác SBC nên MI ∥ SC ⊂ (SCD), suy ra MI ∥ (SCD), không có giao điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ (SAD); CM cắt (SAD) tại N với SN ∥ BC (kiểm tra tọa độ: N = (s₁, s₂−1, h), SN = (0,−1,0) cùng phương BC). Vì N ∉ (SBC) nên SN ∥ (SBC).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. $N\in BC$, $P\in BD$ nên $NP\subset (BCD)$; $CD\subset (BCD)$ nên $E=CD\cap NP\in NP\subset (MNP)$. Vậy $E$ nằm trong mp $(MNP)$.
b) Đúng. $M$, $N$ là trung điểm của $AC$, $BC$ trong tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN//AB$.
c) Sai. Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ có điểm chung $P$. Vì $MN//AB$, $MN\not\subset (ABD)$, $AB\subset (ABD)$ nên $MN//(ABD)$. Suy ra giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AB$, không phải đường thẳng $MP$.
d) Sai. Giao điểm $Q$ của $AD$ với $(MNP)$ phải nằm trên giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABD)$, tức là đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ (vì $AD\subset (ABD)$). Đường thẳng $MP$ không phải giao tuyến này, nên $Q$ không phải là giao điểm của $AD$ với $MP$.