Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$. Điểm $N$ thuộc cạnh $SB$ sao cho $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$. Gọi $Q$ là giao điểm của cạnh $SD$ và mặt phẳng $(MNP)$. Tỷ số $\frac{SQ}{SD}=\frac{a}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $S$: đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$, suy ra $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{d}$.

Ta có $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}\vec{c}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{b}$. Gọi $\overrightarrow{SQ}=t\vec{d}$. Vì $Q\in (MNP)$ nên tồn tại $\alpha ,\beta ,\gamma$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$ sao cho:
$$t\vec{d}=\alpha \cdot \frac{\vec{a}}{2}+\beta \cdot \frac{\vec{c}}{2}+\gamma \cdot \frac{2}{3}(\vec{a}+\vec{c}-\vec{d}).$$
So sánh hệ số theo $\vec{a},\vec{c},\vec{d}$ (độc lập): hệ số của $\vec{a}$ và $\vec{c}$ phải bằng 0 nên $\alpha =\beta =-\frac{4\gamma }{3}$; hệ số của $\vec{d}$: $t=-\frac{2\gamma }{3}$. Từ $\alpha +\beta +\gamma =1$: $-\frac{8\gamma }{3}+\gamma =1\Rightarrow \gamma =-\frac{3}{5}$, suy ra $t=\frac{2}{5}$.

Vậy $\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{5}$, tức $a=2$.