Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SMN)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong hình bình hành $ABCD$, tâm $O$ là trung điểm của $AC$, cũng là trung điểm của $MN$ (vì $M,N$ là trung điểm $AB,CD$ nên $MN$ đi qua tâm $O$). Do đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in MN\subset (SMN)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SMN)$ là đường thẳng $SO$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $B(0;0;3)$. Khi đó trọng tâm $E$ của $BCD$ là $E(1;1;1)$, trọng tâm $A^{\prime }$ của $ACD$ là $A^{\prime }(1;1;0)$. Đường thẳng $A{A}^{\prime }$: $(t;t;0)$. Đường thẳng $BE$: $(s;s;3-2s)$. Giao điểm: $t=s$ và $3-2s=0\Rightarrow s=t=\frac{3}{2}$, nên $G\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2};0\right)$. Suy ra $GA=\frac{3}{2}\sqrt{2}$, $G{A}^{\prime }=\left|\frac{3}{2}-1\right|\sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$. Vậy $\frac{GA}{G{A}^{\prime }}=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $K$ là trung điểm $BD$ nên $K\in (ABD)$; cũng $K\in (IJK)$. Vậy $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng. Trong tam giác $ABC$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $AC,BC$ nên $IJ\parallel AB$. Vì $AB\subset (ABD)$ và $IJ\not\subset (ABD)$ nên $IJ\parallel (ABD)$. Giao tuyến $d=(IJK)\cap (ABD)$ đi qua $K$ và song song với $IJ$, do đó $d$ đi qua $K$ và song song với $AB$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF$ nằm trong $(ABCD)$. b) Đúng: hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ cùng chứa điểm $A$, $B$ nên giao tuyến là $AB$. c) Sai: $(SAB)$ chứa $AB$, $(SCD)$ chứa $CD$, mà $AB\cap CD=E$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (không phải $SF$); tương tự $(SAC)$ chứa $AC$, $(SBD)$ chứa $BD$, $AC\cap BD=F$ nên giao tuyến là $SF$ (không phải $SE$). Đề phát biểu hoán đổi nên sai. d) Đúng: $(SEF)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$; trong mặt đáy, $E,F\in (SEF)\cap (ABCD)$ nên $EF$ là giao tuyến của $(SEF)$ và $(ABCD)$; $G=EF\cap AD$ với $AD\subset (SAD)$ nên $G\in (SAD)$ và $G\in (SEF)$. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $S,G$ nên giao tuyến là $SG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $EF$ nằm trong $(ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (vì $AB\cap CD=E$), giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (vì $AC\cap BD=F$); đề phát biểu ngược nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=EF\cap AD$ thuộc cả $(SEF)$ lẫn $(SAD)$, hai mặt phẳng còn chung $S$, nên giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Ngoài ra, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$, do đó giao tuyến là đường thẳng $SO$. Lưu ý giao tuyến là đường thẳng, không phải đoạn thẳng hay điểm, nên loại B, C; $SA$ chỉ nằm trong $(SAC)$, không nằm trong $(SBD)$, nên loại A.

(AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$. Khi đó $E\in AB$ và $G\in BF$, suy ra đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt phẳng $(ABF)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $AF$ (vì $A$ chung, $F\in CD\subset (ACD)$ và $F\in (ABF)$). Do đó giao điểm của $EG$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AF$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: a) Đúng - $E$, $F$ đều thuộc mặt phẳng đáy nên $EF\subset (ABCD)$. b) Đúng - $(SAB)$ và $(ABCD)$ cùng chứa $A$, $B$ nên giao tuyến là $AB$. c) Sai - $(SAB)$ và $(SCD)$ cùng chứa $S$, $AB\cap CD=E$ nên giao tuyến là $SE$ (không phải $SF$); tương tự $(SAC)\cap (SBD)$ có giao tuyến $SF$ (không phải $SE$). d) Đúng - $(SEF)$ chứa $E$, $F$; $(SAD)$ chứa $A$, $D$; $G=EF\cap AD$ thuộc cả hai mặt phẳng, $S$ chung, nên giao tuyến là $SG$.

a) (AI giải đề cho tôi)
$E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF$ nằm trong $(ABCD)$.

b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ đều chứa $A$ và $B$, nên giao tuyến là đường thẳng $AB$.

c) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SCD)$ cùng chứa $S$; $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, $AB\cap CD=E$ nên giao tuyến là $SE$, không phải $SF$. Tương tự $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$, $AC\cap BD=F$ nên giao tuyến là $SF$, không phải $SE$.

d) (AI giải đề cho tôi)
$(SEF)$ chứa $E$, $F$; $(SAD)$ chứa $A$, $D$. Vì $E$, $F$, $A$, $D$ cùng thuộc mặt phẳng đáy nên $G=EF\cap AD$ thuộc cả $(SEF)$ và $(SAD)$; $S$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. a) Đúng: trong hình bình hành, $AB\parallel CD$. b) Đúng: $SA$ và $SC$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ và cắt nhau tại $S$. c) Đúng: vì $AD\parallel BC$ (tính chất hình bình hành), $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$. d) Đúng: $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, $SC$ chỉ gặp mặt phẳng này tại $C$, $C\notin AB$, và $AB$ không song song $SC$ (vì $AB\parallel CD$, $SC$ cắt $CD$ tại $C$), nên $SC$ và $AB$ chéo nhau.
a) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA$ và $SC$ nằm chung mặt phẳng $(SAC)$ và cắt nhau tại $S$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AD\parallel BC$, $BC\subset (SBC)$, $AD\not\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB\parallel CD$, $SC$ cắt $CD$ tại $C\notin AB$ nên $SC$ và $AB$ không song song, không cắt nhau: chúng chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có 4 mặt bên $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SDA)$ nên A đúng. $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và $O=AC\cap BD$ nên giao tuyến là $SO$, B đúng. $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $I$ (vì đáy là hình thang, hai cạnh bên không song song), cả hai mặt phẳng chứa $S$ và $I$ nên giao tuyến là $SI$, C đúng. $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$, giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$, không thể là đường trung bình của hình thang (nằm trong mặt đáy), nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ thuộc $BC$ và $P$ thuộc $BD$ nên đường thẳng $NP$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$, do đó $NP$ và $CD$ đồng phẳng và cắt nhau tại một điểm $Q$ (vì $NP$ không song song với $CD$ trong tam giác $BCD$). Điểm $Q$ thuộc $NP\subset (MNP)$ và thuộc $CD$, nên $Q$ chính là giao điểm của $CD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Vậy giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $MNP$ là giao điểm của $CD$ và $NP$. Chọn A.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1102, câu 11: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai (DSDD).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1101, câu 11: DSDD, tức a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. Giải thích: a) Đúng vì $ABCD$ là hình thang với $CD$ là đáy lớn nên $AB\parallel CD$. b) Sai vì do $AB\parallel CD$, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$), không phải $SO$ (vì $O$ không nằm trên đường thẳng đó). c) Đúng vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (MAB)$, $CD\subset (SCD)$ nên giao tuyến của $(MAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $M$ song song với $CD$. d) Đúng vì $SB$ và $DC$ không nằm cùng một mặt phẳng và không cắt nhau (chéo nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa đỉnh $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt đáy, $AD\parallel BC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành). Ta có $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$, và vì $AD\parallel BC$ nên $BC\parallel (SAD)$. Giao tuyến $d$ của $(SBC)$ và $(SAD)$ đi qua $S$; theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $BC\parallel d$. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $BC$ (đồng thời song song với $AD$). Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2.

a) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$: ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O=AC\cap BD\in (SAC)\cap (SBD)$ (vì $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$ của hình bình hành $ABCD$). Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Vì $CM\subset (SAC)$ nên giao điểm của $CM$ với mặt phẳng $(SBD)$ nằm trên giao tuyến $SO$ của $(SAC)$ và $(SBD)$ (theo kết quả câu a).

Trong mặt phẳng $(SAC)$, đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng $SO$ tại một điểm $H$ (vì $CM$ không song song với $SO$: $O$ là trung điểm $AC$ còn $M$ là trung điểm $SA$, nên $CM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $CM\parallel SC$ và $CM$ cắt $SO$ tại trung điểm của $SO$).

Khi đó $H\in CM$ và $H\in SO\subset (SBD)$, suy ra $H$ chính là giao điểm của $CM$ và mặt phẳng $(SBD)$.

Vậy giao điểm của $CM$ và $(SBD)$ là điểm $H=CM\cap SO$ (điểm này là trung điểm của $SO$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $D$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(DMN)$. Trong tam giác $ABC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $MN\subset (DMN)$ và $AC\subset (ACD)$, theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến của $(ACD)$ và $(DMN)$ là đường thẳng đi qua $D$ và song song với $AC$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần III):

a) Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$: cả hai đều đi qua điểm $S$, nên $S$ thuộc giao tuyến. Trong mặt đáy $(ABCD)$, do $AD\parallel BC$ nên $AB$ và $CD$ không song song (nếu $AB\parallel CD$ thì đáy là hình bình hành, mâu thuẫn với hình thang), do đó $AB$ cắt $CD$ tại một điểm $O$ xác định. Khi đó $O\in AB\subset (SAB)$ và $O\in CD\subset (SCD)$.

Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $SO$, với $O=AB\cap CD$.

b) M là trung điểm của $SA$, N thuộc $SD$, nên $M,N$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAD)$. Trong mặt phẳng $(SAD)$, đường thẳng $MN$ không song song với $AD$ (vì $M$ là trung điểm $SA$ còn $N$ là điểm bất kỳ trên $SD$, nói chung $MN$ cắt $AD$), nên $MN$ cắt $AD$ tại một điểm $P$.

Ta có: $P\in MN\subset (BMN)$ và $P\in AD$. Vậy giao điểm của $AD$ và $(BMN)$ là điểm $P=AD\cap MN$ (tức giao điểm của $AD$ với $MN$ trong mặt phẳng $(SAD)$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Do $BC\parallel AD$ và $AD\subset (SAD)$, $BC\not\subset (SAD)$, suy ra $BC\parallel (SAD)$. Mặt khác $BC\subset (SBC)$ và $d=(SAD)\cap (SBC)$, theo định lý về giao tuyến (nếu đường thẳng song song với một mặt phẳng và nằm trong mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng đó thì đường thẳng đó song song với giao tuyến), ta có $d\parallel BC$. Hơn nữa $S$ thuộc cả hai mặt phẳng nên $S\in d$. Vậy $d$ đi qua $S$ và song song với $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I$ là trung điểm của $AD$ nên $I\in (JAD)$; đồng thời $I\in (IBC)$ (vì mặt phẳng $(IBC)$ chứa đường thẳng $IB$ và điểm $I$). Tương tự $J$ là trung điểm của $BC$ nên $J\in (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Vậy hai điểm chung của hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD)$ là $I$ và $J$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $IJ$. Đáp án A.