Cho tứ diện $ABCD$. Gọi hai điểm $E$ và $A^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và tam giác $ACD$. Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BE$. Tính tỉ số $\frac{GA}{G{A}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $B(0;0;3)$. Khi đó trọng tâm $E$ của $BCD$ là $E(1;1;1)$, trọng tâm $A^{\prime }$ của $ACD$ là $A^{\prime }(1;1;0)$. Đường thẳng $A{A}^{\prime }$: $(t;t;0)$. Đường thẳng $BE$: $(s;s;3-2s)$. Giao điểm: $t=s$ và $3-2s=0\Rightarrow s=t=\frac{3}{2}$, nên $G\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2};0\right)$. Suy ra $GA=\frac{3}{2}\sqrt{2}$, $G{A}^{\prime }=\left|\frac{3}{2}-1\right|\sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$. Vậy $\frac{GA}{G{A}^{\prime }}=3$.