Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $BC$ và $CD$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(MNP)$.

b) Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với $(MNP)$. Chứng minh $MQ$ song song với $BD$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $M\in SB\subset (SBC)$ và $M\in (MNP)$; $N\in BC\subset (SBC)$ và $N\in (MNP)$. Vậy hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(MNP)$ có chung hai điểm phân biệt $M,N$, suy ra giao tuyến của chúng là đường thẳng $MN$.

b) Trong tam giác $SBC$, $M$ là trung điểm $SB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN\parallel SC$. Vì $SC\not\subset (MNP)$ và $SC\parallel MN\subset (MNP)$ nên $SC\parallel (MNP)$.

Xét mặt phẳng $(SCD)$: mặt phẳng $(SCD)$ chứa đường thẳng $SC\parallel (MNP)$ và chứa điểm $P\in (MNP)$, nên giao tuyến của $(SCD)$ và $(MNP)$ là đường thẳng $d$ đi qua $P$ và $d\parallel SC$. Đường thẳng $SD\subset (SCD)$ cắt $(MNP)$ tại $Q$, mà $Q\in d$ nên $PQ\parallel SC$.

Trong tam giác $SCD$, $P$ là trung điểm $CD$ và $PQ\parallel SC$ nên theo định lý đường trung bình (đảo), $Q$ là trung điểm của $SD$.

Xét tam giác $SBD$: $M$ là trung điểm $SB$, $Q$ là trung điểm $SD$, nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $SBD$. Vậy $MQ\parallel BD$ (điều phải chứng minh).