Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$; hai mặt phẳng chung điểm $S$ và $O$ nên giao tuyến là $SO$.

b) Sai. Đặt $S$ làm gốc, $\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SD}=\mathbf{d},\overrightarrow{SA}=\mathbf{a}$; vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SC}=\mathbf{b}+\mathbf{d}-\mathbf{a}$, và $K$ có tọa độ $\mathbf{d}/2$. Điểm $P=t\mathbf{a}$ trên $SA$ thuộc $(KBC)$ khi $t\mathbf{a}-\mathbf{d}/2=\alpha (\mathbf{b}-\mathbf{d}/2)+\beta (\mathbf{b}+\mathbf{d}/2-\mathbf{a})$; so sánh hệ số giải ra $t=1/2$. Vậy $J$ là trung điểm của $SA$. Khi đó $KJ$ là đường trung bình của tam giác $SDA$ nên $KJ\parallel DA$ (tức $KJ\parallel BC$), không song song với $DC$. Khẳng định b) sai.

c) Đúng. $O$ là trung điểm $AC$ nên $C\in (AO)\subset (OIA)$, đồng thời $C\in (SCD)$. Với hệ vectơ trên, $\overrightarrow{AO}=(\mathbf{b}+\mathbf{d})/2-\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AI}=\mathbf{b}/2-\mathbf{a}$; ta có $\mathbf{d}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{AI}$, tức phương $\overrightarrow{SD}$ nằm trong mặt phẳng $(OIA)$. Do đó đường thẳng qua $C$ song song với $SD$ nằm trong cả $(OIA)$ lẫn $(SCD)$, chính là giao tuyến. Đúng.

d) Đúng. $I$ là trung điểm $SB$, $J$ là trung điểm $SA$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $IJ\parallel AB$; mà $AB\parallel CD$ (hình bình hành) nên $CD\parallel IJ$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$, chung với $S$ nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Dùng tọa độ vectơ với gốc $S$: $J$ là trung điểm $SA$ ($t=1/2$), nên $KJ$ là đường trung bình tam giác $SDA$, tức $KJ\parallel DA$, không song song với $DC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $C\in (OIA)$ vì $O$ là trung điểm $AC$; mặt phẳng $(OIA)$ chứa phương $\overrightarrow{SD}$ vì $\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{AI}$, nên giao tuyến là đường thẳng qua $C$ song song với $SD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $IJ$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $IJ\parallel AB\parallel CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $S$: đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$, suy ra $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{d}$.

Ta có $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}\vec{c}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{b}$. Gọi $\overrightarrow{SQ}=t\vec{d}$. Vì $Q\in (MNP)$ nên tồn tại $\alpha ,\beta ,\gamma$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$ sao cho:
$$t\vec{d}=\alpha \cdot \frac{\vec{a}}{2}+\beta \cdot \frac{\vec{c}}{2}+\gamma \cdot \frac{2}{3}(\vec{a}+\vec{c}-\vec{d}).$$
So sánh hệ số theo $\vec{a},\vec{c},\vec{d}$ (độc lập): hệ số của $\vec{a}$ và $\vec{c}$ phải bằng 0 nên $\alpha =\beta =-\frac{4\gamma }{3}$; hệ số của $\vec{d}$: $t=-\frac{2\gamma }{3}$. Từ $\alpha +\beta +\gamma =1$: $-\frac{8\gamma }{3}+\gamma =1\Rightarrow \gamma =-\frac{3}{5}$, suy ra $t=\frac{2}{5}$.

Vậy $\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{5}$, tức $a=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp có đáy là ngũ giác (5 đỉnh đáy) và 1 đỉnh đỉnh. Số mặt = 5 mặt bên + 1 mặt đáy = 6 mặt. Số cạnh = 5 cạnh đáy + 5 cạnh bên = 10 cạnh. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý về mặt phẳng: qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. A sai vì 3 điểm phân biệt có thể thẳng hàng; B sai vì 4 điểm phân biệt có thể không cùng thuộc một mặt phẳng; D sai vì qua 2 điểm có vô số mặt phẳng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;1)$. Khi đó $M(0;0;\frac{1}{2})$, $I(\frac{1}{2};1;0)$.

a) Hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$. Trong mặt phẳng đáy, gọi $K=BI\cap AC$. Vì $BI\subset (SBI)$, $K\in AC\subset (SAC)$ nên $K\in (SBI)\cap (SAC)$. Tính tọa độ: đường $BI$ qua $B(1;0)$ và $I(\frac{1}{2};1)$ có phương trình, giao với $AC$ ($y=x$) tại $K(\frac{2}{3};\frac{2}{3})$. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SK$.

b) Mặt phẳng $(MBI)$ qua $M(0;0;\frac{1}{2})$, $B(1;0;0)$, $I(\frac{1}{2};1;0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MB}\times \overrightarrow{MI}=(\frac{1}{2};\frac{1}{4};1)$, phương trình: $\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y+z=\frac{1}{2}$. Đường $SD$: $(x;y;z)=(0;t;1-t)$. Thay vào: $\frac{t}{4}+1-t=\frac{1}{2}⟹-\frac{3t}{4}=-\frac{1}{2}⟹t=\frac{2}{3}$. Vậy $E(0;\frac{2}{3};\frac{1}{3})$.

c) Vì $E=S+\frac{2}{3}(D-S)$ nên $SE=\frac{2}{3}SD$, $ED=\frac{1}{3}SD$, do đó $\frac{SE}{ED}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có 4 mặt bên $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SDA)$ nên A đúng. $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và $O=AC\cap BD$ nên giao tuyến là $SO$, B đúng. $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $I$ (vì đáy là hình thang, hai cạnh bên không song song), cả hai mặt phẳng chứa $S$ và $I$ nên giao tuyến là $SI$, C đúng. $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$, giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$, không thể là đường trung bình của hình thang (nằm trong mặt đáy), nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất (định lý về cách xác định mặt phẳng). Ba điểm phân biệt chỉ xác định mặt phẳng khi chúng không thẳng hàng; một điểm và một đường thẳng chỉ xác định khi điểm không nằm trên đường thẳng; bốn điểm phân biệt không xác định mặt phẳng duy nhất. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và $O$ (vì $O\in AC$, $O\in BD$), nên giao tuyến là $SO$.
b) Đúng. $BD$ cắt $AC$ tại $O$ và $O\in (SAC)$, nên giao điểm của $BD$ với $(SAC)$ là $O$.
c) Đúng. Trong tam giác $SAC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AC$ và $MN$ cắt trung tuyến $SO$ tại trung điểm của $SO$. Mặt khác $MN\subset (SAC)$ và giao tuyến $(SAC)\cap (SBD)=SO$, nên giao điểm của $MN$ với $(SBD)$ là giao điểm của $MN$ với $SO$, tức trung điểm của $SO$.
d) Sai. $(SBC)$ và $(MCD)$ có điểm chung $C$, nhưng $S\notin (MCD)$ nên $SC$ không nằm trong $(MCD)$, do đó $SC$ không phải giao tuyến. Giao tuyến đi qua $C$ và điểm giao thứ hai, cụ thể gọi $E=SB\cap CM$, giao tuyến là $CE$, không phải $SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Đúng — nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng hoặc trùng nhau hoặc cắt nhau theo một đường thẳng, trong cả hai trường hợp chúng có vô số điểm chung khác nữa. (B) Sai — nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung, không có đường thẳng chung duy nhất; mệnh đề này thiếu điều kiện 'phân biệt'. (C) Đúng — hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì giao của chúng là một đường thẳng duy nhất đi qua điểm đó (tiên đề giao). (D) Đúng — ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng, nên hai mặt phẳng cùng đi qua ba điểm đó phải trùng nhau. Vậy mệnh đề sai là $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ thuộc $BC$ và $P$ thuộc $BD$ nên đường thẳng $NP$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$, do đó $NP$ và $CD$ đồng phẳng và cắt nhau tại một điểm $Q$ (vì $NP$ không song song với $CD$ trong tam giác $BCD$). Điểm $Q$ thuộc $NP\subset (MNP)$ và thuộc $CD$, nên $Q$ chính là giao điểm của $CD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Vậy giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $MNP$ là giao điểm của $CD$ và $NP$. Chọn A.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1102, câu 11: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai (DSDD).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$, tam giác $KAD$ đồng dạng tam giác $KBC$ với tỉ số $2$, nên $KA=2KB$, $KD=2KC$. Chọn $K$ làm gốc, đặt $\vec{b}=\overrightarrow{KB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{KC}$, $\vec{s}=\overrightarrow{KS}$; khi đó $A=2b$, $D=2c$.

$E$ trung điểm $SA$: $E=\frac{s+2b}{2}$; $F$ trung điểm $SD$: $F=\frac{s+2c}{2}$.

Tìm $M=SB\cap (CDE)$: mặt phẳng $(CDE)$ chứa đường thẳng $KC$ (vì $C=c$, $D=2c$) và điểm $E$, nên sinh bởi $c$ và $s+2b$. Điểm trên $SB$ có dạng $(1-t)s+tb$. Đẳng thức $(1-t)s+tb=\alpha c+\beta \frac{s+2b}{2}$ cho $\beta =t$ và $\frac{t}{2}=1-t\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $M=\frac{s+2b}{3}=\frac{2}{3}E$, tức $M\in KE$ với $KM=\frac{2}{3}KE$.

Tìm $N=SC\cap (EFM)$: vì $E,M$ cùng phương $s+2b$, đường thẳng $EM$ đi qua $K$, nên $(EFM)$ chứa $K$ và $F$, tức là mặt phẳng sinh bởi $s+2b$ và $s+2c$. Điểm trên $SC$: $(1-u)s+uc=\lambda (s+2b)+\mu \frac{s+2c}{2}$ dẫn đến $2\lambda =u$, $\mu =u$, $\frac{u}{2}+\frac{u}{2}=1-u\Rightarrow u=\frac{2}{3}$. Vậy $N=\frac{s+2c}{3}=\frac{2}{3}F$, tức $N\in KF$ với $KN=\frac{2}{3}KF$.

Hai tam giác $KMN$ và $KEF$ có chung góc đỉnh $K$ (do $M\in KE$, $N\in KF$), nên $\frac{S_{KMN}}{S_{KEF}}=\frac{KM}{KE}\cdot \frac{KN}{KF}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$.

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{4}{9}$ tối giản, $a+b=4+9=13$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 14: 13).

Hướng dẫn chấm:
a) Chứng minh : $MO//SC$ (1 điểm)

- Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của AC. (0,25)
- Xét $\Delta ASC$ có $\{\begin{array}{l}MA=MS\\ OA=OC\end{array}$ nên $OM$ là đường trung bình của $\Delta ASC$, suy ra $OM//SC$ (0,5)
- KL và vẽ đúng hình nét đứt, nét liền (0,25)

b) Tìm giao điểm $K$ của $SD$ và $(MBC)$. (0,5 điểm)
- Chọn $(SAD)$ chứa $SD$, tìm giao tuyến của $(SAD)$ và $(MBC)$
- Ta có: $\{\begin{array}{l}M\in (SAD)\cap (MBC)\\ AD//BC\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}My=(SAD)\cap (MBC)\\ My//AD//BC\end{array}$ (0,25)
- Trong $(SAD)$, gọi $K=My\cap SD$
- Với $\{\begin{array}{l}K\in SD\\ K\in My\subset (MBC)\Rightarrow K\in (MBC)\end{array}\Rightarrow K=SD\cap (MBC)$, KL (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác, đỉnh chung nối với 4 đỉnh đáy nên có 4 mặt bên (4 mặt tam giác). Đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 1102 (Câu 3: C).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1101, câu 11: DSDD, tức a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. Giải thích: a) Đúng vì $ABCD$ là hình thang với $CD$ là đáy lớn nên $AB\parallel CD$. b) Sai vì do $AB\parallel CD$, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$), không phải $SO$ (vì $O$ không nằm trên đường thẳng đó). c) Đúng vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (MAB)$, $CD\subset (SCD)$ nên giao tuyến của $(MAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $M$ song song với $CD$. d) Đúng vì $SB$ và $DC$ không nằm cùng một mặt phẳng và không cắt nhau (chéo nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Do $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$ nên $K=AB\cap CD$ thỏa $\frac{KB}{KA}=\frac{KC}{KD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$, tức $K$ nằm ngoài đoạn $AB$ phía bên $B$.

Thiết lập tọa độ affine: lấy $S$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{SA}=\mathbf{a},\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SC}=\mathbf{c}$. Khi đó $K=2B-A$ cho $\overrightarrow{SK}=2\mathbf{b}-\mathbf{a}$, và từ $K=2C-D$ suy ra $\overrightarrow{SD}=\mathbf{a}+2\mathbf{c}-2\mathbf{b}$. Do đó
$$E=\frac{1}{2}\mathbf{a},F=\frac{1}{2}\mathbf{d}=\frac{1}{2}\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b},K=2\mathbf{b}-\mathbf{a}.$$

Tìm $M$: $K\in CD\subset (CDE)$ và $K\in (SAB)$, $E\in (SAB)$, nên giao tuyến của $(CDE)$ và $(SAB)$ là $EK$; suy ra $M=SB\cap EK$. Điểm trên $EK$: $K+\lambda (E-K)=(2\mathbf{b}-\mathbf{a})+\lambda (\frac{3}{2}\mathbf{a}-2\mathbf{b})$. Để điểm này thuộc $SB$ (hệ số của $\mathbf{a}$ bằng 0) thì $\lambda =\frac{2}{3}$, cho $M=\frac{2}{3}\mathbf{b}$, tức $\frac{SM}{SB}=\frac{2}{3}$. Kiểm tra: $\overrightarrow{KM}=\mathbf{a}-\frac{4}{3}\mathbf{b}=\frac{2}{3}(\frac{3}{2}\mathbf{a}-2\mathbf{b})=\frac{2}{3}\overrightarrow{KE}$, vậy $M$ nằm giữa $K$ và $E$ với $\frac{KM}{KE}=\frac{2}{3}$.

Tìm $N$: giải $t\mathbf{c}=\alpha E+\beta F+\gamma M$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. Hệ số của $\mathbf{a}$: $\frac{\alpha +\beta }{2}=0\Rightarrow \alpha =-\beta$; hệ số của $\mathbf{b}$: $-\beta +\frac{2}{3}\gamma =0$; tổng cho $\gamma =1$, suy ra $\beta =\frac{2}{3}$, $t=\frac{2}{3}$, tức $N=\frac{2}{3}\mathbf{c}$ với $\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}$. Kiểm tra: $\overrightarrow{KN}=\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{c}-2\mathbf{b}=\frac{2}{3}(\frac{3}{2}\mathbf{a}+\mathbf{c}-3\mathbf{b})=\frac{2}{3}\overrightarrow{KF}$, vậy $K,F,N$ thẳng hàng với $\frac{KN}{KF}=\frac{2}{3}$.

Tỉ số diện tích: hai tam giác $KMN$ và $KEF$ có chung góc đỉnh $K$ ($KM$ nằm trên tia $KE$, $KN$ nằm trên tia $KF$), nên
$$\frac{S_{KMN}}{S_{KEF}}=\frac{KM}{KE}\cdot \frac{KN}{KF}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$$
(Kiểm tra độc lập bằng tích có hướng với $\mathbf{a}=(1,0,0),\mathbf{b}=(0,1,0),\mathbf{c}=(0,0,1)$: $|\overrightarrow{KM}\times \overrightarrow{KN}{|}^2=\frac{136}{81}$, $|\overrightarrow{KE}\times \overrightarrow{KF}{|}^2=\frac{136}{16}$, tỉ số $=\sqrt{16/81}=\frac{4}{9}$ — khớp.)

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{4}{9}\Rightarrow a+b=4+9=13$, khớp đáp án nguồn (mã 1101, câu 13: 13).

Hướng dẫn chấm:
a) Chứng minh : $MO//SC$ (1 điểm)

- Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của AC. (0,25)
- Xét $\Delta ASC$ có $\{\begin{array}{l}MA=MS\\ OA=OC\end{array}$ nên $OM$ là đường trung bình của $\Delta ASC$, suy ra $OM//SC$ (0,5)
- KL và vẽ đúng hình nét đứt, nét liền (0,25)

b) Tìm giao điểm $K$ của $SD$ và $(MBC)$. (0,5 điểm)
- Chọn $(SAD)$ chứa $SD$, tìm giao tuyến của $(SAD)$ và $(MBC)$
- Ta có: $\{\begin{array}{l}M\in (SAD)\cap (MBC)\\ AD//BC\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}My=(SAD)\cap (MBC)\\ My//AD//BC\end{array}$ (0,25)
- Trong $(SAD)$, gọi $K=My\cap SD$
- Với $\{\begin{array}{l}K\in SD\\ K\in My\subset (MBC)\Rightarrow K\in (MBC)\end{array}\Rightarrow K=SD\cap (MBC)$, KL (0,25)