Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AD$ là đáy lớn, $BC$ là đáy nhỏ). Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$, $M$ là giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(CDE)$, $N$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(EFM)$. Cho biết $AD=2BC$. Tỉ số diện tích của hai tam giác $KMN$ và $KEF$ là phân số tối giản $\frac{a}{b}$. Tính $a+b$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$, tam giác $KAD$ đồng dạng tam giác $KBC$ với tỉ số $2$, nên $KA=2KB$, $KD=2KC$. Chọn $K$ làm gốc, đặt $\vec{b}=\overrightarrow{KB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{KC}$, $\vec{s}=\overrightarrow{KS}$; khi đó $A=2b$, $D=2c$.

$E$ trung điểm $SA$: $E=\frac{s+2b}{2}$; $F$ trung điểm $SD$: $F=\frac{s+2c}{2}$.

Tìm $M=SB\cap (CDE)$: mặt phẳng $(CDE)$ chứa đường thẳng $KC$ (vì $C=c$, $D=2c$) và điểm $E$, nên sinh bởi $c$ và $s+2b$. Điểm trên $SB$ có dạng $(1-t)s+tb$. Đẳng thức $(1-t)s+tb=\alpha c+\beta \frac{s+2b}{2}$ cho $\beta =t$ và $\frac{t}{2}=1-t\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $M=\frac{s+2b}{3}=\frac{2}{3}E$, tức $M\in KE$ với $KM=\frac{2}{3}KE$.

Tìm $N=SC\cap (EFM)$: vì $E,M$ cùng phương $s+2b$, đường thẳng $EM$ đi qua $K$, nên $(EFM)$ chứa $K$ và $F$, tức là mặt phẳng sinh bởi $s+2b$ và $s+2c$. Điểm trên $SC$: $(1-u)s+uc=\lambda (s+2b)+\mu \frac{s+2c}{2}$ dẫn đến $2\lambda =u$, $\mu =u$, $\frac{u}{2}+\frac{u}{2}=1-u\Rightarrow u=\frac{2}{3}$. Vậy $N=\frac{s+2c}{3}=\frac{2}{3}F$, tức $N\in KF$ với $KN=\frac{2}{3}KF$.

Hai tam giác $KMN$ và $KEF$ có chung góc đỉnh $K$ (do $M\in KE$, $N\in KF$), nên $\frac{S_{KMN}}{S_{KEF}}=\frac{KM}{KE}\cdot \frac{KN}{KF}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$.

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{4}{9}$ tối giản, $a+b=4+9=13$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 14: 13).