Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác (4 đỉnh) và một đỉnh S. Các mặt bên là các tam giác nối đỉnh S với mỗi cạnh đáy: SAB, SBC, SCD, SDA — tổng cộng 4 mặt bên (mặt đáy không tính là mặt bên). Đáp án khớp với mã đề 1101: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $S$ là đỉnh của hình chóp, không thuộc mặt đáy $(ABCD)$.

b) Đúng: $O=AC\cap BD$ nên $O$ thuộc cả $(SAC)$ (vì $O\in AC$) và $(SBD)$ (vì $O\in BD$); hai mặt phẳng lại có điểm chung $S$, do đó giao tuyến là $SO$.

c) Đúng: $MN$ là đường trung bình của $△CBD$ nên $MN\parallel BD$. Vì $BD$ cắt $(SAC)$ tại $O$ nên $MN$ không song song với $(SAC)$ và cắt $(SAC)$ tại điểm $P$. Kiểm chứng bằng vectơ với gốc $A$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$: $\overrightarrow{AM}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}$, $\overrightarrow{AN}=\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{b}$. Điểm $P\in MN$ có dạng $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+t(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM})=\left(1-\frac{t}{2}\right)\vec{b}+\left(\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\right)\vec{d}$. Để $P\in (SAC)$, cần $\overrightarrow{AP}=\lambda (\vec{b}+\vec{d})$, suy ra $1-\frac{t}{2}=\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{2},\lambda =\frac{3}{4}$. Vậy $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}(\vec{b}+\vec{d})$. Mà $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{d})$, $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, nên $\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}}{2}$, tức $P$ là trung điểm của $OC$.

d) Sai: Chọn $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, $\overrightarrow{AM}=\vec{b}+\frac{\vec{d}}{2}$, $\overrightarrow{AN}=\vec{d}+\frac{\vec{b}}{2}$. Vì $H\in (GMN)$ nên $\overrightarrow{AH}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AM}+\gamma \overrightarrow{AN}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$; vì $H\in SA$ nên $\overrightarrow{AH}=t\vec{s}$. So sánh hệ số theo $\vec{b}$ và $\vec{d}$: do đối xứng $\beta =\gamma$, và $\frac{\alpha }{3}+\frac{3\beta }{2}=0\Rightarrow \beta =-\frac{2\alpha }{9}$. Kết hợp $\alpha +\beta +\gamma =1$ được $\frac{5\alpha }{9}=1\Rightarrow \alpha =\frac{9}{5},\beta =\gamma =-\frac{2}{9}$. Suy ra $t=\frac{\alpha }{3}=\frac{3}{5}$, tức $\frac{AH}{AS}=\frac{3}{5}$ và $\frac{SH}{SA}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\ne \frac{3}{7}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S$ là đỉnh của hình chóp nên $S\notin (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$, cộng với $S$ chung nên giao tuyến là $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $MN$ là đường trung bình của $△CBD$ nên $MN\parallel BD$; vì $BD$ cắt $(SAC)$ tại $O$ nên $MN$ cắt $(SAC)$ tại điểm $P$. Bằng vectơ (gốc $A$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$) tính được $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}(\vec{b}+\vec{d})=\frac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}}{2}$, tức $P$ là trung điểm của $OC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, $\overrightarrow{AM}=\vec{b}+\frac{\vec{d}}{2}$, $\overrightarrow{AN}=\vec{d}+\frac{\vec{b}}{2}$. Viết $\overrightarrow{AH}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AM}+\gamma \overrightarrow{AN}=t\vec{s}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$; do đối xứng $\beta =\gamma$, giải hệ được $\alpha =\frac{9}{5}$, $\beta =\gamma =-\frac{2}{9}$, $t=\frac{3}{5}$. Vậy $\frac{AH}{AS}=\frac{3}{5}$ nên $\frac{SH}{SA}=\frac{2}{5}\ne \frac{3}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SB$, $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, do đó $MN\parallel BC$. Mà $E$ là trung điểm $BC$ nên $E\in MN$. Đồng thời $E\in (SAE)$. Vậy giao điểm $I$ của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAE)$ chính là $E$. Suy ra $\frac{IM}{IN}=\frac{EM}{EN}=1$ vì $E$ là trung điểm của $MN$ (do $MN\parallel BC$ và $M$, $N$ là trung điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là giao điểm của $MP$ với $AD$ (cùng thuộc mặt phẳng $(ABD)$). Vì $M$ là trung điểm $AB$ và $P$ thuộc $BD$ với $PD=\frac{1}{3}BD$ (tức $BP=\frac{2}{3}BD$), trong $(ABD)$ đường thẳng $MP$ cắt đường thẳng $AD$ tại $K$ sao cho $AK=2AD$ ($K$ nằm ngoài đoạn $AD$, phía $D$). Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=0$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$ thì $M=\frac{\vec{b}}{2}$, $P=\frac{\vec{b}+2\vec{d}}{3}$; phương trình $M+t(P-M)=s\vec{d}$ cho $t=3$, $s=2$, tức $K=2\vec{d}$ nên $AK=2AD$.

a) Vì $M,P\in (MNP)$ nên $K\in (MNP)$; cũng $K\in (ACD)$. Trong mặt phẳng $(ACD)$, $N\in AC$ với $AN=\frac{2}{3}AC$ và $K\in$ đường thẳng $AD$ với $AK=2AD$, nên đường thẳng $NK$ cắt đường thẳng $CD$ tại $L$. Tọa độ: $N=\frac{2}{3}\vec{c}$, $K=2\vec{d}$; điểm trên $NK$: $\frac{2}{3}(1-u)\vec{c}+2u\vec{d}$. Điều kiện thuộc $CD$: $2u=1-\frac{2}{3}(1-u)$ cho $u=\frac{1}{4}$, suy ra $L=\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}$, tức $L$ là trung điểm của $CD$. Vì $N,K\in (MNP)$ nên $L\in (MNP)$; mà $L\in (BCD)$, $P\in (BCD)\cap (MNP)$, vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $PL$.

b) $Q$ là giao điểm của $CD$ với $(MNP)$ chính là $L$. Vì $L$ là trung điểm $CD$ nên $\frac{QC}{QD}=\frac{LC}{LD}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M\in SA\subset (SAB)$ và $M\in (MCD)$ nên $M$ thuộc giao tuyến. Vì $N=AB\cap CD$ với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (MCD)$ nên $N$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(MCD)$ và $(SAB)$ là đường thẳng $MN$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song không xác định được duy nhất một mặt phẳng (đường thẳng chéo nhau không cùng thuộc mặt phẳng nào). Các mệnh đề A, B, D là các trường hợp xác định mặt phẳng đúng. Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa đỉnh $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt đáy, $AD\parallel BC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành). Ta có $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$, và vì $AD\parallel BC$ nên $BC\parallel (SAD)$. Giao tuyến $d$ của $(SBC)$ và $(SAD)$ đi qua $S$; theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $BC\parallel d$. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $BC$ (đồng thời song song với $AD$). Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) I ∈ BC ⊂ (SBC) nhưng K ∈ CD nên K ∉ (SBC). Do đó đường thẳng IK (nằm trong mặt đáy) không nằm trong (SBC) → Sai.
b) Vì ABCD là hình bình hành nên AD ∥ BC. Ta có BC ⊂ (SBC), AD ⊂ (SAD), AD ∥ (SBC). Theo tính chất giao tuyến song song, giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và song song với AD → Đúng.
c) Trong tam giác SBC, M trung điểm SB, I trung điểm BC nên MI là đường trung bình, suy ra MI ∥ SC. Vì SC ⊂ (SCD) và MI ⊄ (SCD) nên MI ∥ (SCD). Vậy MI không cắt (SCD), không tồn tại giao điểm nằm trên SO → Sai.
d) Vì AD ∥ BC nên BC ∥ (SAD). Trong mặt phẳng (SBC), đường thẳng CM cắt (SAD) tại N. Kiểm tra bằng tọa độ: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(s₁,s₂,h), M = ((s₁+1)/2, s₂/2, h/2). Mặt phẳng (SAD): h·x − s₁·z = 0; điểm trên CM dạng C + t(M−C), thay vào được t = 2, nên N = (s₁, s₂−1, h). Suy ra vectơ SN = (0, −1, 0) cùng phương với BC = (0,1,0). Vì BC ⊂ (SBC), S ∈ (SBC), N ∉ (SBC) nên SN ∥ (SBC) → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
K ∈ CD nên K ∉ (SBC); do đó đường thẳng IK không nằm trong (SBC).
b) (AI giải đề cho tôi)
AD ∥ BC, BC ⊂ (SBC), AD ⊂ (SAD) nên giao tuyến là đường thẳng qua S song song AD.
c) (AI giải đề cho tôi)
MI là đường trung bình tam giác SBC nên MI ∥ SC ⊂ (SCD), suy ra MI ∥ (SCD), không có giao điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ (SAD); CM cắt (SAD) tại N với SN ∥ BC (kiểm tra tọa độ: N = (s₁, s₂−1, h), SN = (0,−1,0) cùng phương BC). Vì N ∉ (SBC) nên SN ∥ (SBC).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2.

a) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$: ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O=AC\cap BD\in (SAC)\cap (SBD)$ (vì $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$ của hình bình hành $ABCD$). Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Vì $CM\subset (SAC)$ nên giao điểm của $CM$ với mặt phẳng $(SBD)$ nằm trên giao tuyến $SO$ của $(SAC)$ và $(SBD)$ (theo kết quả câu a).

Trong mặt phẳng $(SAC)$, đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng $SO$ tại một điểm $H$ (vì $CM$ không song song với $SO$: $O$ là trung điểm $AC$ còn $M$ là trung điểm $SA$, nên $CM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $CM\parallel SC$ và $CM$ cắt $SO$ tại trung điểm của $SO$).

Khi đó $H\in CM$ và $H\in SO\subset (SBD)$, suy ra $H$ chính là giao điểm của $CM$ và mặt phẳng $(SBD)$.

Vậy giao điểm của $CM$ và $(SBD)$ là điểm $H=CM\cap SO$ (điểm này là trung điểm của $SO$).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $B$ (vì $B\in (SAB)$ và $B\in (SBD)$). Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung phân biệt, tức là đường thẳng $SB$. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SBD)$ là $SB$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $D$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(DMN)$. Trong tam giác $ABC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $MN\subset (DMN)$ và $AC\subset (ACD)$, theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến của $(ACD)$ và $(DMN)$ là đường thẳng đi qua $D$ và song song với $AC$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. $N\in BC$, $P\in BD$ nên $NP\subset (BCD)$; $CD\subset (BCD)$ nên $E=CD\cap NP\in NP\subset (MNP)$. Vậy $E$ nằm trong mp $(MNP)$.
b) Đúng. $M$, $N$ là trung điểm của $AC$, $BC$ trong tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN//AB$.
c) Sai. Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ có điểm chung $P$. Vì $MN//AB$, $MN\not\subset (ABD)$, $AB\subset (ABD)$ nên $MN//(ABD)$. Suy ra giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AB$, không phải đường thẳng $MP$.
d) Sai. Giao điểm $Q$ của $AD$ với $(MNP)$ phải nằm trên giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABD)$, tức là đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ (vì $AD\subset (ABD)$). Đường thẳng $MP$ không phải giao tuyến này, nên $Q$ không phải là giao điểm của $AD$ với $MP$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần III):

a) Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$: cả hai đều đi qua điểm $S$, nên $S$ thuộc giao tuyến. Trong mặt đáy $(ABCD)$, do $AD\parallel BC$ nên $AB$ và $CD$ không song song (nếu $AB\parallel CD$ thì đáy là hình bình hành, mâu thuẫn với hình thang), do đó $AB$ cắt $CD$ tại một điểm $O$ xác định. Khi đó $O\in AB\subset (SAB)$ và $O\in CD\subset (SCD)$.

Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $SO$, với $O=AB\cap CD$.

b) M là trung điểm của $SA$, N thuộc $SD$, nên $M,N$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAD)$. Trong mặt phẳng $(SAD)$, đường thẳng $MN$ không song song với $AD$ (vì $M$ là trung điểm $SA$ còn $N$ là điểm bất kỳ trên $SD$, nói chung $MN$ cắt $AD$), nên $MN$ cắt $AD$ tại một điểm $P$.

Ta có: $P\in MN\subset (BMN)$ và $P\in AD$. Vậy giao điểm của $AD$ và $(BMN)$ là điểm $P=AD\cap MN$ (tức giao điểm của $AD$ với $MN$ trong mặt phẳng $(SAD)$).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $B$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua hai điểm chung $S$ và $B$, tức là đường thẳng $SB$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Do $BC\parallel AD$ và $AD\subset (SAD)$, $BC\not\subset (SAD)$, suy ra $BC\parallel (SAD)$. Mặt khác $BC\subset (SBC)$ và $d=(SAD)\cap (SBC)$, theo định lý về giao tuyến (nếu đường thẳng song song với một mặt phẳng và nằm trong mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng đó thì đường thẳng đó song song với giao tuyến), ta có $d\parallel BC$. Hơn nữa $S$ thuộc cả hai mặt phẳng nên $S\in d$. Vậy $d$ đi qua $S$ và song song với $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, SM = ½SA, SN = ⅓SD.

a) SAI. M thuộc mặt phẳng (SAD). Mặt phẳng (SBN) ∩ (SAD) = SN (vì chung S và N). M thuộc SA; M thuộc SN chỉ khi A, S, D thẳng hàng (vô lý). Vậy M không thuộc (SBN).

b) SAI. MN nằm trong (SAD). Nếu MN // BC thì do BC // AD nên MN // AD, suy ra SM/SA = SN/SD = 1/2, mâu thuẫn với SN = ⅓SD. Vậy MN không song song BC (MN và BC chéo nhau).

c) SAI. Vì O là tâm hình bình hành nên A, O, C thẳng hàng, do đó C ∈ (OMA). Mặt khác A, M cùng thuộc đường thẳng SA nên (OMA) chứa đường thẳng SA, suy ra S ∈ (OMA). Mà S, C đều thuộc (SCD), vậy giao tuyến của (OMA) và (SCD) là đường thẳng SC — đi qua C nhưng KHÔNG song song với SD. Khẳng định sai.

d) ĐÚNG. N thuộc SD ⊂ (SBD) nên N ∈ (SBD); M ∈ (SAD). Giao tuyến của (SAD) và (SBD) là SD. MN cắt (SBD) tại chính N, tức P ≡ N. Đường thẳng qua N và D (tức SD) cắt BD tại D, nên P thuộc đường thẳng đi qua N và cắt BD. Khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SBN) ∩ (SAD) = SN; M ∈ SA nhưng M ∉ SN nên M không thuộc (SBN).
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu MN // BC thì MN // AD, đòi hỏi SM/SA = SN/SD, nhưng 1/2 ≠ 1/3, vô lý.
c) (AI giải đề cho tôi)
(OMA) chứa AC (vì A, O, C thẳng hàng) và chứa SA (vì A, M ∈ SA), nên giao tuyến với (SCD) là SC, không song song SD.
d) (AI giải đề cho tôi)
N ∈ SD ⊂ (SBD) nên P = MN ∩ (SBD) = N; đường thẳng qua N và D cắt BD tại D, nên P thuộc đường thẳng qua N cắt BD.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{3}$ (vì $SK=\frac{1}{2}AK\Rightarrow SA=SK+AK=3SK$) và $\frac{SL}{SC}=\frac{2}{3}$.

a) Hai mặt phẳng $(BKL)$ và $(ABC)$ đều đi qua $B$, nên $B$ là một điểm chung. Trong mặt phẳng $(SAC)$, đường thẳng $KL$ cắt $AC$ tại $I$ (vì $\frac{SK}{KA}=\frac{1}{2}\ne \frac{SL}{LC}=2$ nên $KL$ không song song với $AC$). Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác $SAC$ với ba điểm $K,I,L$ thẳng hàng:
$$\frac{SK}{KA}\cdot \frac{AI}{IC}\cdot \frac{CL}{LS}=1\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot \frac{AI}{IC}\cdot \frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{AI}{IC}=4.$$
Vì $I\in AC\subset (ABC)$ và $I\in KL\subset (BKL)$ nên $I$ là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến của $(BKL)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $BI$.

b) Vì $KL\subset (BKL)$ và giao tuyến của $(BKL)$ với $(ABC)$ là $BI$, nên giao điểm của $KL$ với $(ABC)$ chính là $I=KL\cap AC$ với $\frac{AI}{IC}=4$ (tức $I$ nằm ngoài đoạn $AC$, về phía $C$, vì $AI=4IC$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I$ là trung điểm của $AD$ nên $I\in (JAD)$; đồng thời $I\in (IBC)$ (vì mặt phẳng $(IBC)$ chứa đường thẳng $IB$ và điểm $I$). Tương tự $J$ là trung điểm của $BC$ nên $J\in (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Vậy hai điểm chung của hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD)$ là $I$ và $J$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $IJ$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng; M trung điểm AC, N trung điểm BC, P trên BD với BP = 2PD (tức BP/BD = 2/3), E = CD ∩ NP.

a) Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng NP cắt CD: đặt hệ tọa độ trong mặt phẳng (BCD) với B là gốc, C = c, D = d. Khi đó N = c/2, P = 2d/3. Điểm trên NP: c/2 + t(2d/3 − c/2); điểm trên CD: c + u(d − c). So sánh hệ số: 1/2 − t/2 = 1 − u và 2t/3 = u, giải ra t = 3, u = 2. Vậy NP cắt CD tại điểm E (nằm ngoài đoạn CD, phía sau D), tức NP cắt mặt phẳng (ACD) tại E. Mệnh đề ĐÚNG.

b) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN ∥ AB. Vì AB ⊂ (ABD) và M ∉ (ABD) (do C ∉ (ABD) và M nằm trên AC với M ≠ A), nên MN ∥ (ABD). Mệnh đề ĐÚNG.

c) (MNP) và (ABD) có điểm chung P. Vì MN ∥ (ABD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua P và song song với MN (do đó song song với AB). Mặt khác A không thuộc (MNP) (vì nếu A ∈ (MNP) thì mặt (MNP) chứa A, M ∈ AC, N ∈ BC, P ∈ BD, khi đó mặt phẳng này chứa A, B (qua A và N, M xác định đường BC và AC... dẫn đến B, C thuộc mặt phẳng, mâu thuẫn với D không đồng phẳng). Vậy giao tuyến không phải là AP. Mệnh đề SAI.

d) E = CD ∩ NP nên E ∈ CD ⊂ (ACD). Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
E = CD ∩ NP nên E ∈ NP và E ∈ CD ⊂ (ACD); đường thẳng NP thực sự cắt CD (giải trong mặt phẳng (BCD) cho nghiệm t = 3, u = 2), vậy NP cắt (ACD) tại E.
b) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác ABC nên MN ∥ AB ⊂ (ABD), và M ∉ (ABD) vì C ∉ (ABD). Suy ra MN ∥ (ABD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có điểm chung P; vì MN ∥ (ABD) nên giao tuyến là đường qua P song song với MN (tức song song AB), không phải AP vì A ∉ (MNP).
d) (AI giải đề cho tôi)
E nằm trên CD nên E ∈ (ACD).