Cho bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên đoạn $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2PD$, $E=CD\cap NP$. Khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Xét bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng; M trung điểm AC, N trung điểm BC, P trên BD với BP = 2PD (tức BP/BD = 2/3), E = CD ∩ NP.

a) Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng NP cắt CD: đặt hệ tọa độ trong mặt phẳng (BCD) với B là gốc, C = c, D = d. Khi đó N = c/2, P = 2d/3. Điểm trên NP: c/2 + t(2d/3 − c/2); điểm trên CD: c + u(d − c). So sánh hệ số: 1/2 − t/2 = 1 − u và 2t/3 = u, giải ra t = 3, u = 2. Vậy NP cắt CD tại điểm E (nằm ngoài đoạn CD, phía sau D), tức NP cắt mặt phẳng (ACD) tại E. Mệnh đề ĐÚNG.

b) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN ∥ AB. Vì AB ⊂ (ABD) và M ∉ (ABD) (do C ∉ (ABD) và M nằm trên AC với M ≠ A), nên MN ∥ (ABD). Mệnh đề ĐÚNG.

c) (MNP) và (ABD) có điểm chung P. Vì MN ∥ (ABD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua P và song song với MN (do đó song song với AB). Mặt khác A không thuộc (MNP) (vì nếu A ∈ (MNP) thì mặt (MNP) chứa A, M ∈ AC, N ∈ BC, P ∈ BD, khi đó mặt phẳng này chứa A, B (qua A và N, M xác định đường BC và AC... dẫn đến B, C thuộc mặt phẳng, mâu thuẫn với D không đồng phẳng). Vậy giao tuyến không phải là AP. Mệnh đề SAI.

d) E = CD ∩ NP nên E ∈ CD ⊂ (ACD). Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
E = CD ∩ NP nên E ∈ NP và E ∈ CD ⊂ (ACD); đường thẳng NP thực sự cắt CD (giải trong mặt phẳng (BCD) cho nghiệm t = 3, u = 2), vậy NP cắt (ACD) tại E.
b) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác ABC nên MN ∥ AB ⊂ (ABD), và M ∉ (ABD) vì C ∉ (ABD). Suy ra MN ∥ (ABD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có điểm chung P; vì MN ∥ (ABD) nên giao tuyến là đường qua P song song với MN (tức song song AB), không phải AP vì A ∉ (MNP).
d) (AI giải đề cho tôi)
E nằm trên CD nên E ∈ (ACD).