Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap ($AD$ là đáy lớn, $BC$ là đáy nhỏ). Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$, $M$ là giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(CDE)$, $N$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(EFM)$. Cho biết $AD=2BC$. Tỉ số diện tích của hai tam giác $KMN$ và $KEF$ là phân số tối giản $\frac{a}{b}$. Tính $a+b$

(AI giải đề cho tôi)
Do $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$ nên $K=AB\cap CD$ thỏa $\frac{KB}{KA}=\frac{KC}{KD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$, tức $K$ nằm ngoài đoạn $AB$ phía bên $B$.

Thiết lập tọa độ affine: lấy $S$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{SA}=\mathbf{a},\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SC}=\mathbf{c}$. Khi đó $K=2B-A$ cho $\overrightarrow{SK}=2\mathbf{b}-\mathbf{a}$, và từ $K=2C-D$ suy ra $\overrightarrow{SD}=\mathbf{a}+2\mathbf{c}-2\mathbf{b}$. Do đó
$$E=\frac{1}{2}\mathbf{a},F=\frac{1}{2}\mathbf{d}=\frac{1}{2}\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b},K=2\mathbf{b}-\mathbf{a}.$$

Tìm $M$: $K\in CD\subset (CDE)$ và $K\in (SAB)$, $E\in (SAB)$, nên giao tuyến của $(CDE)$ và $(SAB)$ là $EK$; suy ra $M=SB\cap EK$. Điểm trên $EK$: $K+\lambda (E-K)=(2\mathbf{b}-\mathbf{a})+\lambda (\frac{3}{2}\mathbf{a}-2\mathbf{b})$. Để điểm này thuộc $SB$ (hệ số của $\mathbf{a}$ bằng 0) thì $\lambda =\frac{2}{3}$, cho $M=\frac{2}{3}\mathbf{b}$, tức $\frac{SM}{SB}=\frac{2}{3}$. Kiểm tra: $\overrightarrow{KM}=\mathbf{a}-\frac{4}{3}\mathbf{b}=\frac{2}{3}(\frac{3}{2}\mathbf{a}-2\mathbf{b})=\frac{2}{3}\overrightarrow{KE}$, vậy $M$ nằm giữa $K$ và $E$ với $\frac{KM}{KE}=\frac{2}{3}$.

Tìm $N$: giải $t\mathbf{c}=\alpha E+\beta F+\gamma M$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. Hệ số của $\mathbf{a}$: $\frac{\alpha +\beta }{2}=0\Rightarrow \alpha =-\beta$; hệ số của $\mathbf{b}$: $-\beta +\frac{2}{3}\gamma =0$; tổng cho $\gamma =1$, suy ra $\beta =\frac{2}{3}$, $t=\frac{2}{3}$, tức $N=\frac{2}{3}\mathbf{c}$ với $\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}$. Kiểm tra: $\overrightarrow{KN}=\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{c}-2\mathbf{b}=\frac{2}{3}(\frac{3}{2}\mathbf{a}+\mathbf{c}-3\mathbf{b})=\frac{2}{3}\overrightarrow{KF}$, vậy $K,F,N$ thẳng hàng với $\frac{KN}{KF}=\frac{2}{3}$.

Tỉ số diện tích: hai tam giác $KMN$ và $KEF$ có chung góc đỉnh $K$ ($KM$ nằm trên tia $KE$, $KN$ nằm trên tia $KF$), nên
$$\frac{S_{KMN}}{S_{KEF}}=\frac{KM}{KE}\cdot \frac{KN}{KF}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$$
(Kiểm tra độc lập bằng tích có hướng với $\mathbf{a}=(1,0,0),\mathbf{b}=(0,1,0),\mathbf{c}=(0,0,1)$: $|\overrightarrow{KM}\times \overrightarrow{KN}{|}^2=\frac{136}{81}$, $|\overrightarrow{KE}\times \overrightarrow{KF}{|}^2=\frac{136}{16}$, tỉ số $=\sqrt{16/81}=\frac{4}{9}$ — khớp.)

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{4}{9}\Rightarrow a+b=4+9=13$, khớp đáp án nguồn (mã 1101, câu 13: 13).