Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên $b$ không song song với $a$. Đường thẳng $c$ song song với $a$ nên $c$ cũng không song song với $b$ (nếu $c$ song song $b$ thì $a$ song song $b$, mâu thuẫn). Do đó $b$ và $c$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ: trong hình hộp, nếu $a=AB$ thì $c=D_1{C}_1$ chéo với $b=A{A}_1$... cụ thể: chọn $b$ nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng song song với $a$ qua $b$ thì $b$ cắt $c$; ngược lại $b$ chéo với $c$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MN\parallel AC$. Do đó A đúng. Kiểm tra các phương án khác: $MP$ nối trung điểm $AB$ và $CD$ trong tứ diện, không song song với $AD$ hay $BC$ ($MP$ là cạnh của tam giác trung bình trong mặt phẳng $(ABD)$ chỉ khi so với $BD$... thực tế $MP$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$? Không: $P$ thuộc $CD$ nên $MP$ không thuộc mặt nào đơn giản; $MP$ không song song $AD$ vì $M$, $P$ không cùng thuộc một mặt phẳng chứa $AD$). $BC$ và $AD$ là hai đường chéo của tứ diện, chéo nhau nên không có điểm chung, C sai. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $I$ thuộc trung tuyến $CM$, với $\overrightarrow{MI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$, tức $MI=\frac{1}{3}MC$. Tương tự $J$ thuộc trung tuyến $DM$ với $MJ=\frac{1}{3}MD$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{MJ}-\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $IJ$ song song với $CD$ (và $IJ=\frac{1}{3}CD$). Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABD, M trung điểm AB, N trung điểm AD nên MN là đường trung bình: MN // BD và MN = BD/2 ⇒ A đúng. Vì MN // BD, MN ⊄ (BCD), BD ⊂ (BCD) nên MN // (BCD) ⇒ B đúng. Tương tự QP là đường trung bình tam giác BCD nên QP // BD và QP = BD/2, do đó MN // QP và MN = QP ⇒ MNPQ là hình bình hành ⇒ C đúng. Trong hình bình hành MNPQ, MP và NQ là hai đường chéo nên chúng cắt nhau tại giao điểm hai đường chéo, không thể chéo nhau ⇒ D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm của $SA$ và $Q$ là trung điểm của $SC$. Theo định lý đường trung bình, $MQ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MQ\parallel AC$. Do đó khẳng định đúng là $MQ\parallel AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng và không có điểm chung; nếu $a$, $b$ cắt nhau thì cũng không có mặt phẳng nào chứa cả hai (định nghĩa đúng phải là 'không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng và chúng không có điểm chung' — thực chất hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng). B sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau, không nhất thiết song song. C đúng theo tính chất chuyển tiếp của tính song song: nếu $a//c$ và $b//c$ thì $a//b$ (đây là định lý về ba đường thẳng song song trong không gian). D sai vì hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau, chéo nhau hoặc song song với nhau (ví dụ trong hình hộp, nhiều đường thẳng cùng song song với đáy nhưng không song song với nhau). Vậy mệnh đề đúng là $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (với $E,F,G,H$ lần lượt dưới $A,B,C,D$):
- A đúng: $HD$ là cạnh bên (song song $AE,BF,CG$), còn $BG$ là đường chéo của mặt bên $(BCGH)$. $BG$ và $HD$ không song song, không cùng mặt phẳng và không có điểm chung nên chéo nhau.
- B đúng: $BF$ là cạnh bên, $AD$ nằm trong đáy trên; chúng không cùng mặt phẳng, không song song, không cắt nên chéo nhau.
- C đúng: $AB\parallel DC$ và $HG\parallel DC$ nên $AB\parallel HG$.
- D sai: $CG$ là cạnh bên còn $HE$ là cạnh của đáy dưới, chúng không cùng mặt phẳng, không song song và không có điểm chung, tức là chéo nhau chứ không cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Trọng tâm $I$ của tam giác $ABD$ nằm trên trung tuyến $DM$ với $MI=\frac{1}{3}MD$; trọng tâm $J$ của tam giác $ABC$ nằm trên trung tuyến $CM$ với $MJ=\frac{1}{3}MC$. Trong tam giác $MDC$, ta có $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{MJ}-\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{MD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$. Vậy $IJ\parallel DC$, tức $IJ$ song song với $CD$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là tứ diện nên $AB$ và $CD$ chéo nhau. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $I$: khi đó $I\in MQ\subset$ mặt phẳng chứa... xét mặt phẳng $(ABQ)$ chứa $M$, $Q$; thực chất nếu $MQ$ và $NP$ đồng phẳng thì mặt phẳng đó chứa $M$, $N$ (nên chứa đường thẳng $AB$) và chứa $P$, $Q$ (nên chứa đường thẳng $CD$), suy ra $AB$ và $CD$ cùng nằm trong một mặt phẳng, mâu thuẫn với $AB$, $CD$ chéo nhau. Do đó $MQ$ và $NP$ không thể cắt nhau, không thể song song và không thể trùng nhau (các trường hợp này đều khiến chúng đồng phẳng). Vậy $MQ$ và $NP$ chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $DC\parallel IJ$. Trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF\parallel DC\parallel AB\parallel IJ$. Vậy $AD$ không song song với $IJ$ (vì $AD$ chỉ song song với $BC$). Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (I) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng — đúng, theo định nghĩa hai đường thẳng song song nằm trong cùng một mặt phẳng. (II) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau — sai, vì chúng có thể song song (ví dụ hai đường thẳng song song trong một mặt phẳng cũng không có điểm chung). (III) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung — đúng, đây là tính chất của hai đường thẳng chéo nhau. (IV) Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng — đúng, nếu đồng phẳng và không có điểm chung thì chúng song song chứ không chéo nhau. Vậy có 3 mệnh đề đúng (I, III, IV), chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
A sai: hai đường thẳng cắt nhau chỉ có đúng một điểm chung. B sai: hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau (không đồng phẳng), không nhất thiết song song. C sai: hai đường thẳng song song thì đồng phẳng, không phải không đồng phẳng. D đúng: theo định nghĩa, hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng và không có điểm chung; trong không gian, hai đường thẳng không đồng phẳng thì không cắt nhau và không song song, tức chéo nhau. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBC$, $M$ là trung điểm $SC$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Trong hình thoi $ABCD$, $BC$ cắt $CD$ tại $C$ (không song song). Vì $MN\subset (SBC)$, $CD\subset (ABCD)$, hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến qua $C$, và $MN\parallel BC$ với $BC$ cắt $CD$ nên $MN$ và $CD$ không song song, không cắt nhau (nếu cắt thì giao điểm thuộc $BC\cap CD=C$, nhưng $C\notin MN$). Vậy $MN$ chéo với $CD$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình thoi (nên $AB\parallel CD$) và $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ còn $CD$ nằm trong đáy, hai đường thẳng này không trùng nhau, do đó $MN\parallel CD$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $I$ thuộc trung tuyến $CM$ với $CI:IM=2:1$; tương tự $J$ thuộc trung tuyến $DM$ với $DJ:JM=2:1$. Suy ra trong tam giác $MCD$: $\frac{MI}{MC}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$, do đó theo định lý Thales $IJ\parallel CD$. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Trong tam giác $ABC$, $I$ là trọng tâm nên $IM=\frac{1}{3}MC$ (định lý đường trung tuyến qua trọng tâm: $I$ nằm trên trung tuyến $CM$). Tương tự, trong tam giác $ABD$, $J$ là trọng tâm nên $JM=\frac{1}{3}MD$. Xét tam giác $MCD$: vì $\frac{MI}{MC}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ nên $IJ\parallel CD$ (định lý Thales). Vậy $IJ$ song song với $CD$, và $IJ$ không thể chéo, cắt $AB$ hay song song $AB$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1072, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $BCD$: $N$ là trung điểm $BC$, $M$ là trung điểm $BD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Trong tam giác $AMN$: $I$ là trung điểm $AM$, $J$ là trung điểm $AN$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel MN$. Vậy $IJ\parallel MN\parallel CD$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $I$ là trung điểm $SA$, $J$ là trung điểm $SC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $IJ\parallel AC$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 111 (câu 12 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$: $M$ là trung điểm $AB$, $P$ là trung điểm $AC$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP\parallel BC$. Trong tam giác $BCD$: $N$ là trung điểm $CD$, $Q$ là trung điểm $BD$ nên $NQ$ là đường trung bình, suy ra $NQ\parallel BC$. Vậy $MP\parallel NQ$ (cùng song song với $BC$). Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $MN$ nối trung điểm $AB,CD$ (không cùng một mặt) nên không song song với $PQ$ hay $BC$; B sai vì $MP\parallel BC$ chứ không song song $BD$; C sai vì $MN$ và $PQ$ chéo nhau. Đáp án khớp với bảng đáp án nguồn (mã 111, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song (cùng nằm trong một mặt phẳng) hoặc chéo nhau, nên mệnh đề B sai. Các mệnh đề A, C, D đều đúng theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Đáp án khớp với mã đề 1111: B.