Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là tứ diện nên $AB$ và $CD$ chéo nhau. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $I$: khi đó $I\in MQ\subset$ mặt phẳng chứa... xét mặt phẳng $(ABQ)$ chứa $M$, $Q$; thực chất nếu $MQ$ và $NP$ đồng phẳng thì mặt phẳng đó chứa $M$, $N$ (nên chứa đường thẳng $AB$) và chứa $P$, $Q$ (nên chứa đường thẳng $CD$), suy ra $AB$ và $CD$ cùng nằm trong một mặt phẳng, mâu thuẫn với $AB$, $CD$ chéo nhau. Do đó $MQ$ và $NP$ không thể cắt nhau, không thể song song và không thể trùng nhau (các trường hợp này đều khiến chúng đồng phẳng). Vậy $MQ$ và $NP$ chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $DC\parallel IJ$. Trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF\parallel DC\parallel AB\parallel IJ$. Vậy $AD$ không song song với $IJ$ (vì $AD$ chỉ song song với $BC$). Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (I) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng — đúng, theo định nghĩa hai đường thẳng song song nằm trong cùng một mặt phẳng. (II) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau — sai, vì chúng có thể song song (ví dụ hai đường thẳng song song trong một mặt phẳng cũng không có điểm chung). (III) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung — đúng, đây là tính chất của hai đường thẳng chéo nhau. (IV) Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng — đúng, nếu đồng phẳng và không có điểm chung thì chúng song song chứ không chéo nhau. Vậy có 3 mệnh đề đúng (I, III, IV), chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
A sai: hai đường thẳng cắt nhau chỉ có đúng một điểm chung. B sai: hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau (không đồng phẳng), không nhất thiết song song. C sai: hai đường thẳng song song thì đồng phẳng, không phải không đồng phẳng. D đúng: theo định nghĩa, hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng và không có điểm chung; trong không gian, hai đường thẳng không đồng phẳng thì không cắt nhau và không song song, tức chéo nhau. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBC$, $M$ là trung điểm $SC$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Trong hình thoi $ABCD$, $BC$ cắt $CD$ tại $C$ (không song song). Vì $MN\subset (SBC)$, $CD\subset (ABCD)$, hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến qua $C$, và $MN\parallel BC$ với $BC$ cắt $CD$ nên $MN$ và $CD$ không song song, không cắt nhau (nếu cắt thì giao điểm thuộc $BC\cap CD=C$, nhưng $C\notin MN$). Vậy $MN$ chéo với $CD$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình thoi (nên $AB\parallel CD$) và $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ còn $CD$ nằm trong đáy, hai đường thẳng này không trùng nhau, do đó $MN\parallel CD$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $I$ thuộc trung tuyến $CM$ với $CI:IM=2:1$; tương tự $J$ thuộc trung tuyến $DM$ với $DJ:JM=2:1$. Suy ra trong tam giác $MCD$: $\frac{MI}{MC}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$, do đó theo định lý Thales $IJ\parallel CD$. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Trong tam giác $ABC$, $I$ là trọng tâm nên $IM=\frac{1}{3}MC$ (định lý đường trung tuyến qua trọng tâm: $I$ nằm trên trung tuyến $CM$). Tương tự, trong tam giác $ABD$, $J$ là trọng tâm nên $JM=\frac{1}{3}MD$. Xét tam giác $MCD$: vì $\frac{MI}{MC}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ nên $IJ\parallel CD$ (định lý Thales). Vậy $IJ$ song song với $CD$, và $IJ$ không thể chéo, cắt $AB$ hay song song $AB$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1072, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $BCD$: $N$ là trung điểm $BC$, $M$ là trung điểm $BD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Trong tam giác $AMN$: $I$ là trung điểm $AM$, $J$ là trung điểm $AN$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel MN$. Vậy $IJ\parallel MN\parallel CD$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $I$ là trung điểm $SA$, $J$ là trung điểm $SC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $IJ\parallel AC$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 111 (câu 12 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$: $M$ là trung điểm $AB$, $P$ là trung điểm $AC$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP\parallel BC$. Trong tam giác $BCD$: $N$ là trung điểm $CD$, $Q$ là trung điểm $BD$ nên $NQ$ là đường trung bình, suy ra $NQ\parallel BC$. Vậy $MP\parallel NQ$ (cùng song song với $BC$). Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $MN$ nối trung điểm $AB,CD$ (không cùng một mặt) nên không song song với $PQ$ hay $BC$; B sai vì $MP\parallel BC$ chứ không song song $BD$; C sai vì $MN$ và $PQ$ chéo nhau. Đáp án khớp với bảng đáp án nguồn (mã 111, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau, nên mệnh đề D sai. Các mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Đáp án khớp với mã đề 1112 (Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song (cùng nằm trong một mặt phẳng) hoặc chéo nhau, nên mệnh đề B sai. Các mệnh đề A, C, D đều đúng theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Đáp án khớp với mã đề 1111: B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel AC$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã 0119, câu 4 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $BAC$, $M$ là trung điểm $BA$, $N$ là trung điểm $BC$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $BAC$. Theo định lý đường trung bình, $MN\parallel AC$. Vậy đáp án là $AC$, khớp với đáp án nguồn B (đề 201, câu 15).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau, nên A và C sai. Mệnh đề B sai vì hai đường thẳng không song song, không cắt nhau còn có thể trùng nhau (trường hợp hai đường trùng nhau không phải chéo nhau). Mệnh đề D đúng vì đó chính là định nghĩa: hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. Khớp với đáp án đề 201 câu 17 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I$ là trung điểm $SA$, $J$ là trung điểm $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel DC$. Tương tự, trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel CD\parallel IJ$. Vậy $AB$, $DC$, $EF$ đều song song với $IJ$; chỉ có $AD$ không song song với $IJ$ (vì $AD$ cắt mặt phẳng $(SAB)$ chứa $IJ$ tại $A\notin IJ$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $DC\parallel IJ$ (loại A, C). Trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF$ là đường trung bình, $EF\parallel CD\parallel IJ$ (loại D). Đường thẳng $AD$ không song song với $AB$ (vì $ABCD$ là hình bình hành, $AD\parallel BC$), nên $AD$ không song song với $IJ$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tứ diện $ABCD$ với $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng $AJ$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, đường thẳng $BI$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$. Mặt phẳng $(ABC)\cap (ABD)=AB$. Nếu $AJ$ và $BI$ cắt nhau thì điểm chung của chúng phải thuộc giao tuyến $AB$. Nhưng $AJ$ chỉ cắt đường thẳng $AB$ tại $A$, còn $BI$ chỉ cắt đường thẳng $AB$ tại $B$, mà $A\ne B$, nên $AJ$ và $BI$ không có điểm chung, tức không cắt nhau. Chúng cũng không song song vì nằm trong hai mặt phẳng phân biệt và không cùng phương với $AB$. Vậy $AJ$ và $BI$ chéo nhau. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 6: C).