Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình thoi nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc tại $O$, tức $AC\perp BD$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Từ đó $AC\perp BD$ và $AC\perp SB$ với $BD$, $SB$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Mặt phẳng $(SAC)$ chứa $AC$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1701: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A) Nếu $a\perp (\alpha )$ và $a\subset (\beta )$ thì theo định lý: mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc, suy ra $(\alpha )\perp (\beta )$. Mệnh đề đúng.
- B) Sai vì $b$ có thể nằm trong $(\alpha )$ (khi đó $b\perp a$ nhưng $b$ không song song với $(\alpha )$).
- C) Sai vì hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng vuông góc với nhau chưa chắc vuông góc với nhau (ví dụ trong hình hộp chữ nhật, lấy $a$ là cạnh và $b$ là cạnh chéo của mặt bên).
- D) Sai vì hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc chưa chắc vuông góc với nhau.
Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
(A) Đây là định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(\alpha )\perp (\beta )$, $a\subset (\alpha )$ và $a$ vuông góc với giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ thì $a\perp (\beta )$. Mệnh đề đúng.
(B) Sai: qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước (chỉ duy nhất khi điểm nằm trên mặt phẳng và xét đường thẳng vuông góc, không phải mặt phẳng).
(C) Sai: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau, chéo nhau hoặc song song.
(D) Sai: đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau phải cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với cả hai; chỉ vuông góc với cả $a$ và $b$ là chưa đủ (thiếu điều kiện cắt cả hai đường).
Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau → A đúng. B sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn nhà nhưng chúng vuông góc với nhau). C sai vì chỉ những đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến mới vuông góc với mặt phẳng kia. D sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể song song hoặc cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: Nếu đường thẳng $a\perp (\alpha )$ và đường thẳng $d\perp a$ với $d\not\subset (\alpha )$ thì $d\parallel (\alpha )$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng).
- B đúng: Đây là định lý: nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.
- C đúng: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó, nên chúng song song với nhau.
- D sai: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba có thể cắt nhau. Ví dụ: hai mặt tường của một căn phòng cùng vuông góc với mặt sàn nhưng chúng cắt nhau dọc theo đường giao tuyến. Do đó khẳng định D không phải luôn đúng.
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P)\parallel (Q)$ nên mọi mặt phẳng vuông góc với $(P)$ cũng vuông góc với $(Q)$. Qua điểm $M$ có vô số đường thẳng vuông góc với $(P)$ (chúng cùng song song với pháp tuyến $n$ của $(P)$). Mỗi mặt phẳng qua $M$ chứa một đường thẳng như vậy đều vuông góc với $(P)$, do đó cũng vuông góc với $(Q)$. Vì có vô số đường thẳng như thế nên có vô số mặt phẳng thỏa mãn. Vậy đáp án là B. Vô số, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Vì $AB\cap SA=A$ và $AB,SA\subset (SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$. Mà $BC\subset (SBC)$, do đó $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy đáp án D. Kiểm tra các phương án khác: $(SBC)$ không vuông với $(ABCD)$ vì giao tuyến là $BC$ mà hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A\notin BC$; $(SBC)$ và $(SCD)$ có góc giữa hai mặt phẳng khác $90^{\circ }$; $(SBC)$ và $(SAD)$ cũng không vuông góc vì $BC\parallel AD$ nên $BC$ không vuông góc $(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì chỉ những đường thẳng trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến mới vuông góc với mặt phẳng kia. B sai: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn). C sai vì cùng lý do, chúng có thể cắt nhau chứ không bắt buộc song song. D đúng theo tính chất của hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(P)\perp (Q)$ với giao tuyến $d$, đường thẳng $a\subset (P)$, $a\perp d$ thì $a\perp (Q)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên mọi mặt phẳng chứa $SA$ đều vuông góc với $(ABCD)$ (định lý về mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác). Các mặt phẳng $(SAB)$, $(SAC)$, $(SAD)$ đều chứa $SA$ nên đều vuông góc với $(ABCD)$: các khẳng định A, C, D đúng. Mặt phẳng $(SBD)$ không chứa $SA$ (và không có đường thẳng nào trong $(SBD)$ được chứng minh vuông góc với đáy), nên không kết luận được $(ABCD)\perp (SBD)$. Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, đáy trên là $ABCD$, đáy dưới là $EFGH$ với $E,F,G,H$ lần lượt dưới $A,B,C,D$. Xét từng khẳng định:
- A: $(ADHE)$ và $(BCGF)$ là hai mặt bên đối diện của hình lập phương nên song song, không vuông góc. Sai.
- B: $(CDHG)$ là mặt bên chứa đường thẳng $DH\perp (ABCD)$ (vì $DH$ là cạnh bên vuông góc với đáy), mà $DH\subset (CDHG)$, giao tuyến của $(CDHG)$ và $(ABCD)$ là $CD$. Theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, $(CDHG)\perp (ABCD)$. Đúng.
- C: $(ACGE)$ là mặt phẳng chéo chứa $AE\perp (BCGF)$... xét góc giữa hai mặt phẳng giao tuyến $CG$: trong $(BCGF)$ đường vuông góc với $CG$ là $CB$, trong $(ACGE)$ là $CA$, góc $(CB,CA)=45^{\circ }\ne 90^{\circ }$. Sai.
- D: $(ABGH)$ là mặt phẳng chéo; với tọa độ $A(0,0,1),B(1,0,1),G(1,1,0),H(0,1,0)$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AH}=(0,1,1)$, không song song với phương thẳng đứng nên $(ABGH)$ không vuông góc $(ABCD)$. Sai.
Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $AB$ là giao tuyến của $(ABCD)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Vì $AD\perp AB$ và $AD\subset (ABCD)$, $A{A}^{\prime }\perp AB$ và $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên góc giữa hai mặt phẳng là góc $\widehat{A^{\prime }AD}=90^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ đều chứa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ (chiều cao của lập phương). Trong đáy $ABCD$ hình vuông, ta có $AC\perp BD$. Xét $BD$ nằm trong $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$: $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp BD$. Vì $BD\perp AC$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ với $AC,A{A}^{\prime }$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, suy ra $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Mà $BD\subset (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, mặt phẳng $(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime })$ là một mặt bên. Các mặt phẳng tạo bởi 4 đỉnh của hình lập phương vuông góc với nó là các mặt kề với nó: $(MNPQ)$, $(M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime })$, $(MQ{Q}^{\prime }{M}^{\prime })$ và $(NP{P}^{\prime }{N}^{\prime })$. Thật vậy, $MN\perp MQ$ và $MN\perp M{Q}^{\prime }$ nên $(MNPQ)\perp (MN{N}^{\prime }{M}^{\prime })$; tương tự với ba mặt còn lại. Vậy có 4 mặt phẳng, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (vì $BC$ nằm trong $(ABCD)$). Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Ta có $BC\perp SA$, $BC\perp AB$, với $SA,AB$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAB)$ và cùng nằm trong $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Mà $BC$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó), ta được $(SBC)\perp (SAB)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Qua $M$ vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $(P)$, khi đó $d$ cũng vuông góc với $(Q)$ vì $(P)\parallel (Q)$. Mọi mặt phẳng chứa $d$ đều vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ (định lý: mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó). Qua $M$ có vô số mặt phẳng chứa $d$, nên có vô số mặt phẳng vuông góc với $(P)$ và $(Q)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng — đó là định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(P)\perp (Q)$ có giao tuyến $a$, $b\subset (P)$, $b\perp a$ thì $b\perp (Q)$. B sai — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì có thể song song hoặc cắt nhau (ví dụ hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime })$ và $(A{D}^{\prime })$ của hình lập phương cùng vuông góc với mặt đáy nhưng cắt nhau theo đường thẳng $A{A}^{\prime }$), nên không nhất thiết song song. C đúng — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau (định lý). D đúng — định lý: nếu mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng vuông góc. Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án nguồn (5B).

Dễ thấy $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$. Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt đáy $(ABCD)$ vuông góc với các mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ vì chúng chứa các cạnh thẳng đứng $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ vuông góc với $(ABCD)$. Mặt phẳng $(AD{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là mặt phẳng đi qua hai đường chéo $AC$ và $D{B}^{\prime }$ (mặt chéo của hình hộp), không chứa cạnh nào vuông góc với $(ABCD)$ nên không vuông góc với $(ABCD)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 8, Mã đề 111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $AC\cap BD=O$ và $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 10 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OA\perp OB$ và $OA\perp OC$ với $OB,OC$ cắt nhau tại $O$ nằm trong mặt phẳng $(OBC)$, suy ra $OA\perp (OBC)$. Mà $OA$ nằm trong mặt phẳng $(OAC)$, nên theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc), ta có $(OAC)\perp (OBC)$. Vậy đáp án A.